P = x² + 2y² - 2xy + 8x + 8y + 2017

= x² + y² + 4² - 2xy - 8y + 8x + y² + 16y + 64 + 1937

= (x - y + 4)² + (y + 8)² + 1937 \(\ge\) 1937

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+4=0\\y+8=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-12\\y=-8\end{matrix}\right.\)

a² + b² + c² = ab + ac + bc

<=> 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2ac + 2bc

<=> a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + a² - 2ac + c² = 0

<=> (a - b)² + (b - c)² + (a - c)² = 0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\)

<=> a = b = c

\(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2a}\)

\(\Rightarrow\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}=\dfrac{1}{5}\)

\(2=\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

\(\Rightarrow\sin\alpha=2\cos\alpha\)

\(A=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\times\cos\alpha-3\cos^2\alpha\)

\(=4\cos^2\alpha+4\cos^2\alpha-3\cos^2\alpha\)

\(=5\cos^2\alpha\)

= 1

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=2\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:

\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\sqrt{2}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\), ta có:

\(\dfrac{1}{M}=\dfrac{a+b+2}{ab}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{ab}\)

\(\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{2}{2}\ge\dfrac{4}{2\sqrt{2}}+1=1+\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\le\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=-1+\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\sqrt{2}\)

\(y^3=x^3+x^2+x+1\left(1\right)\)

Ta có:

\(y^3=x^3+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>x^3\)

\(\Rightarrow y>x\)

\(\Rightarrow y\ge x+1\)

\(\Rightarrow y^3\ge\left(x+1\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3+x^2+x+1\ge x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x\le0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x+1\right)\le0\)

\(\Rightarrow-1\le x\le0\) mà x là số nguyên

=> x = - 1 hoặc x = 0

(+) x = - 1

VT = 0

=> y = 0 ; x = - 1 (nhận)

(+) x = 0

VT = 1

=> y = 1 ; x = 0 (nhận)

Vậy pt (1) có n_onguyên (x ; y) = (0 ; 1) ; (- 1 ; 0)

\(x^4+x^2+1=y^2\) (2)

(+)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow y^2=x^4+2x^2+1-x^2\)

\(\Leftrightarrow y^2-\left(x^2+1\right)^2=x^2\)

(+)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^4+4x^2+4-3x^2-3=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)^2-y^2=3\left(x^2+1\right)\)

Ta thấy:

Với mọi \(x\ne0\) thì \(\left(x^2+1\right)^2< y^2< \left(x^2+2\right)^2\) (vô lý)

=> x = 0

=> y = 1 (nhận)

Vậy pt (2) có n_onguyên (x ; y) = (0 ; 1)

\(x^2-25=y\left(y+6\right)\) (1)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2-6y-25=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+3\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-3\right)\left(x+y+3\right)=16\)

Xét các trường hợp, ta tìm được các n_o nguyên của pt (1).

\(x^2+x+6=y^2\) (2)

\(\Leftrightarrow4x^2+4x+24=4y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2y^2\right)=-23\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1-2y\right)\left(2x+1+2y\right)=-23\)

Xét các trường hợp, ta tìm được các n_o nguyên của pt (2).

\(x^2+13y^2=100+6xy\) (3)

\(\Leftrightarrow x^2-6xy+9y^2+4y^2=100\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y\right)^2+\left(2y\right)^2=0^2+\left(\pm10\right)^2=\left(\pm6\right)^2+\left(\pm8\right)^2\)

Xét các trường hợp, ta tìm được các n_o nguyên của pt (3).

\(x^2-4x=169-5y^2\) (4)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+5y^2=173\)

Ta thấy:

\(5y^2\) luôn có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0

=> Để thoả mãn pt (4), (x - 2)² phải có chữ số tận cùng là 8 hoặc 3 (vô lý)

Vậy pt (4) vô n₀.

\(x^2-x=6-y^2\) (5)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x=24-4y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(2y\right)^2=25=\left(\pm25\right)^2+0^2=\left(\pm3\right)^2+\left(\pm4\right)^2\)

Xét các trường hợp, ta tìm được các n_o nguyên của pt (5).

\(B=\sqrt{-x^2+2x+4}\)

\(=\sqrt{-x^2+2x-1+5}\)

\(=\sqrt{5-\left(x-1\right)^2}\)

Max: \(B\le5\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Min: \(B\ge0\Leftrightarrow5-\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}+x-1\right)\left(\sqrt{5}-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1-\sqrt{5}\\x=1+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

toán CASIO huh???

(d) \(y=\dfrac{1}{2}x+1\)

(d') y = ax + b

(d') // (d)

\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{2};b\ne1\) (1)

(d') đi qua điểm A(2 ; 1)

=> 1 = 2a + b (2)

Từ (1) và (2), ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2};b\ne1\\1=2a+b\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\b=0\end{matrix}\right.\)

Vậy (d') \(y=\dfrac{1}{2}x\)