\(\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^2+4x+3\right)}-\left[\left(2x+2\right)-\sqrt{x^2-1}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+3\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{\left(4x^2+8x+4\right)-\left(x^2-1\right)}{\sqrt{x^2-1}+2x+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x+3\right)\left(x+1\right)}-\dfrac{\left(x+1\right)\left(3x+5\right)}{\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+2\left(x+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left[2\sqrt{x+3}-\dfrac{\sqrt{x+1}\left(3x+5\right)}{\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+1}\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left[2\sqrt{x+3}-\dfrac{3x+5}{\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+1}}\right]=0\)

TH1

x + 1 = 0

<=> x = - 1 (loại)

TH2

\(2\sqrt{x+3}-\dfrac{3x+5}{\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+1}}=0\)

mà \(2\sqrt{x+3}=\dfrac{4x+12}{2\sqrt{x+3}}>\dfrac{3x+5}{\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+1}}\forall x\ge1\)

=> VT > 0

=> vô n_o

~ ~ ~

Vậy pt vô n_o

\(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}=\dfrac{x+3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(4x+1\right)-\left(3x-2\right)}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\dfrac{x+3}{5}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+3}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\dfrac{x+3}{5}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\dfrac{1}{5}\right)\left(x+3\right)=0\)

TH1:

x + 3 = 0

<=> x = - 3 (loại)

TH2:

\(\dfrac{1}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}-\dfrac{1}{5}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}=5\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x+1}-3\right)+\left(\sqrt{3x-2}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x+1-9}{\sqrt{4x+1}+3}+\dfrac{3x-2-4}{\sqrt{3x-2}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4\left(x-2\right)}{\sqrt{4x+1}+3}+\dfrac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{3x-2}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+2}\right)\left(x-2\right)=0\)

Pt \(\dfrac{4}{\sqrt{4x+1}+3}+\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+2}>0\forall x\ge\dfrac{2}{3}\) => vô n_o

=> x - 2 = 0

<=> x = 2 (nhận)

~ ~ ~

Vậy x = 2

\(\sqrt{x^2-3x+2}-\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-3x+2}-\sqrt{x-2}\right)-\left(\sqrt{x^2+2x-3}+\sqrt{x+3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-3x+2\right)-\left(x-2\right)}{\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x-2}}-\dfrac{\left(x^2+2x-3\right)-\left(x+3\right)}{\sqrt{x^2+2x-3}-\sqrt{x+3}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\sqrt{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}+\sqrt{x-2}}-\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}{\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}-\sqrt{x+3}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\dfrac{x-2}{\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x-1}+1\right)}-\dfrac{x+3}{\sqrt{x+3}\left(\sqrt{x-1}-1\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}+1}-\dfrac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-1}-1}\right]=0\)

Pt \(\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}+1}-\dfrac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-1}-1}=0\) vô n_o

(vì \(\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x-1}+1}< \dfrac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-1}-1}\forall x\ge2\Rightarrow VT< 0\))

=> x - 2 = 0

<=> x = 2 (nhận)

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}=2\sqrt{x}+\sqrt{2x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+2}\right)+\left(\sqrt{3x+1}-2\sqrt{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+3\right)-\left(2x+2\right)}{\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+2}}+\dfrac{3x+1-4x}{\sqrt{3x+1}-2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x}{\sqrt{x+3}-\sqrt{2x+2}}+\dfrac{1-x}{\sqrt{3x+1}-2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{2x+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}+2\sqrt{x}}\right)\left(1-x\right)=0\)

Pt \(\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+\sqrt{2x+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}+2\sqrt{x}}=0\) vô n_o (VT > 0)

=> 1 - x = 0

<=> x = 1 (nhận)

Bài 4:

a)

Gọi Q là giao điểm của MC và ON, H là giao điểm của OP và MC.

M là t.đ. của AB và O là t.đ. của BC

\(\Rightarrow OM\) là đ.t.b. của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow OM\) // AC mà AC \(\perp\) AB

\(\Rightarrow OM\perp AB\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(ON\perp AC\)

\(\Rightarrow ABCD\) là h.c.n. có AM = AN (vì \(\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\))

=> ABCD là h.v.

\(\Rightarrow\widehat{MON}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta HOM\) ~ \(\Delta OQM\) (g - g)

\(\Rightarrow\widehat{HOM}=\widehat{OQM}\)

mà \(\widehat{HOM}=\widehat{NPO}\) (OM // AC, 2 góc s.l.tr.)

và \(\widehat{OQM}=\widehat{AMC}\) (ON // AB, 2 góc s.l.tr.)

\(\Rightarrow\widehat{NPO}=\widehat{AMC}\)

\(\Rightarrow\Delta NPO\) ~ \(\Delta AMC\) (g - g)

b)

OM // AC và ON // AB

=> OMNC là h.b.h

=> P là t.đ. của ON và MC

\(\widehat{OMQ}=\widehat{ACM}\) (OM // AC, 2 góc s.l.tr.)

\(\widehat{NOP}=\widehat{ACM}\) (\(\Delta NPO\) ~ \(\Delta AMC\))

\(\Rightarrow\widehat{OMQ}=\widehat{NOP}\)

\(\Rightarrow\Delta OMQ=\Delta NOP\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow NP=OQ=\dfrac{1}{2}ON=\dfrac{1}{2}AN\) (Q là t.đ. của ON)

=> P là t.đ. của AN

=> OP là đ.t.tn. của \(\Delta AON\)

mà MN là đ.t.tn. của \(\Delta AON\)

=> G là trọng tâm của \(\Delta AON\)

mà AQ là đ.t.tn của \(\Delta AON\) (P là t.đ. của ON)

=> A, G, Q thẳng hàng

mà MN là đ.t.tn. của \(\Delta MAC\) (N là t.đ. của AC)

và AQ là đ.t.tn của \(\Delta MAC\) (Q là t.đ. của MC)

=> G là trọng tâm của \(\Delta MAC\)

a)

\(\Delta EAB\) ~ \(\Delta FAC\) (g - g)

\(\Rightarrow\dfrac{EA}{FA}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\Rightarrow\Delta AEF\) ~ \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{AE^2}{AB^2}=\cos^2A\)

\(\Rightarrow S_{AEF}=\cos^2A\left(S_{ABC}=1\right)\) (1)

Chứng minh tương tự, ta có: \(S_{BFD}=\cos^2B\) (2) và \(S_{CDE}=\cos^2C\) (3)

Cộng theo vế của (1) , (2) và (3) => đpcm

b)

\(S_{DEF}=S_{ABC}-\left(S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CDE}\right)\text{ }\)

\(=1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\)

\(=\sin^2A-\cos^2B-\cos^2C\) (đpcm)

2³x + 2006⁰ x = 9⁵:81

8x +x = 9⁵: 9²

9x=9³

x=9³:9

x=9²

x=81

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(a^2+2b^2+3\)

\(=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\)

\(\ge2ab+2b+2\)

Tương tự, ta có: \(b^2+2c^2+3\ge2bc+2c+2\) và \(c^2+2a^2+3\ge2ac+2a+2\)

\(VT=\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\)

\(\le\dfrac{1}{2ab+2b+2}+\dfrac{1}{2bc+2c+2}+\dfrac{1}{2ac+2a+2}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ac+a+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{abc}{bc+c+abc}+\dfrac{abc}{ac+a^2bc+abc}\right)\) (Thay abc = 1)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{ab}{b+1+ab}+\dfrac{b}{1+ab+b}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1+ab+b}{ab+b+1}\)

\(=\dfrac{1}{2}=VP\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Bn vẽ đ.p.g. của \(\widehat{ABC}\) ròi sử dụng tính chất của đ.p.d. trong \(\Delta ABC\) vs tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nx (^~^)