+ Tên : Võ Đông Anh Tuấn

+ Lớp : 9

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có :

\(\left(1.x+1.y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2.8=16\)

=> \(x+y\le4\)

Dấu " =" xảy ra khi \(x=y=2\).

Đặt \(t=x^2+x+6\) , pt trở thành :

\(\left(t-5\right)\left(t+6\right)=12\)

\(\Leftrightarrow t^2+6t-5t-30=12\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-42=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=6\\t=-7\end{matrix}\right.\)

+) Khi \(t=6\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

+) Khi \(t=-7\Leftrightarrow x^2+x+13=0\Leftrightarrow x^2+2.x.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{51}{4}=0\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{51}{4}=0\) ( vô lí )

Vậy ........

Áp dụng BĐT Cô si dạng phân số ta có :

\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ca+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Xảy ra khi a = b = c = 1 .

a ) \(\sqrt{6+\sqrt{35}}.\sqrt{6-\sqrt{35}}=1\)

\(\Leftrightarrow VT=\sqrt{\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)}\)

\(\Leftrightarrow VT=\sqrt{6^2-35}=\sqrt{1}=1=VP\)

b ) \(VT=\left(\sqrt{2}-1\right)^2=2+1-2\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}\)

\(VP=\sqrt{9}-\sqrt{8}=3-2\sqrt{2}\)

=> \(VT=VP.\)

Thiếu đề nha bạn

\(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{a-\sqrt{a}}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{2}{a-1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\right)\)

\(=\left(\dfrac{a-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{a}-1-2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right).\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}-3}\right)\)\(=\dfrac{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-3\right)}\)

Gọi vận tốc ô tô con là x

=> vận tốc của ô tô tải là x - 5 .

Ta có pt : \(\dfrac{270}{x}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{270}{x-5}\)

1080(x-5)+3x(x-5)=1080x

<=> 1080x-5400+3x^2-15x-1080x=0

<=> 3x^2 -15x -5400 =0

Giải pt trên ta được : \(\left[{}\begin{matrix}x=-40\left(loại\right)\\x=45\end{matrix}\right.\)

Vậy vận tốc ô tô con là 45

ô tô tải là 45.

Theo đề bài ta có :

\(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\)

\(\Leftrightarrow x^3-y^3=\sqrt{y+2}-\sqrt{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=\dfrac{y+2-x-2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\dfrac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}\right)=0\)

Dễ thấy: \(x^2+xy+y^2+\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}>0\)

=> \(x=y\)

Thay vào A, ta được :

\(A=x^2+2x^2-2x^2+2x+10=x^2+2x+10=\left(x+1\right)^2+9\ge9\)

Vậy GTNN là 9 khi \(x=y=-1\).