(g) Chứng minh $4^{2n+1} + 3^{n+2} \vdots 13$ với mọi $n > 1$

Biến đổi biểu thức:

$B = 4^{2n+1} + 3^{n+2}$

$B = 4^{2n} \cdot 4^1 + 3^n \cdot 3^2$

$B = (4^2)^n \cdot 4 + 3^n \cdot 9$

$B = 4 \cdot 16^n + 9 \cdot 3^n$

Thêm và bớt $4 \cdot 3^n$:

$B = 4 \cdot 16^n - 4 \cdot 3^n + 4 \cdot 3^n + 9 \cdot 3^n$

$B = 4 \cdot (16^n - 3^n) + (4 + 9) \cdot 3^n$

$B = 4 \cdot (16^n - 3^n) + 13 \cdot 3^n$

Ta có $13 \cdot 3^n \vdots 13$.

Do $(16^n - 3^n) \vdots (16 - 3) \Rightarrow (16^n - 3^n) \vdots 13$.

Suy ra $4 \cdot (16^n - 3^n) \vdots 13$.

Vậy $B \vdots 13$ với mọi $n > 1$. (ĐPCM)

(f) Chứng minh $5^{n+2} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1} \vdots 59$ với mọi $n > 1$

Biến đổi biểu thức:

$A = 5^{n+2} + 26 \cdot 5^n + 8^{2n+1}$

$A = 5^n \cdot 5^2 + 26 \cdot 5^n + 8^{2n} \cdot 8^1$

$A = 5^n \cdot 25 + 26 \cdot 5^n + (8^2)^n \cdot 8$

$A = 5^n \cdot (25 + 26) + 64^n \cdot 8$

$A = 51 \cdot 5^n + 8 \cdot 64^n$

Thêm và bớt $8 \cdot 5^n$:

$A = 51 \cdot 5^n + 8 \cdot 5^n - 8 \cdot 5^n + 8 \cdot 64^n$

$A = (51 + 8) \cdot 5^n + 8 \cdot (64^n - 5^n)$

$A = 59 \cdot 5^n + 8 \cdot (64^n - 5^n)$

Ta có $59 \cdot 5^n \vdots 59$.

Áp dụng hằng đẳng thức $(a^n - b^n) \vdots (a - b)$, ta có $(64^n - 5^n) \vdots (64 - 5) \Rightarrow (64^n - 5^n) \vdots 59$.

Suy ra $8 \cdot (64^n - 5^n) \vdots 59$.

Vậy $A \vdots 59$ với mọi $n > 1$. (ĐPCM)

Bài 2: Chứng minh chia hết cho 2

a) Chứng minh $(n+3)(n+10) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$

Xét hai trường hợp của $n$:

- Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 10 = 2k + 10 = 2(k + 5) \vdots 2$.

Suy ra $(n+3)(n+10) \vdots 2$.

- Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \vdots 2$.

Suy ra $(n+3)(n+10) \vdots 2$.

Kết luận: Với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $(n+3)(n+10) \vdots 2$. (ĐPCM)

b) Chứng minh $(n+3)(n+6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$

Xét hai trường hợp của $n$:

- Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 6 = 2k + 6 = 2(k + 3) \vdots 2$.

Suy ra $(n+3)(n+6) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \vdots 2$.

Suy ra $(n+3)(n+6) \vdots 2$.

Kết luận: Với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $(n+3)(n+6) \vdots 2$. (ĐPCM)

c) Chứng minh $(5n+7)(4n+6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$

Ta có:

$4n + 6 = 2(2n + 3) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$.

Vì thừa số $(4n + 6) \vdots 2$ nên tích $(5n+7)(4n+6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

Bài 1: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $(2n + 7) \vdots (n + 2)$

Ta có:$2n + 7 = 2n + 4 + 3 = 2(n + 2) + 3$

Để $(2n + 7) \vdots (n + 2)$ thì $[2(n + 2) + 3] \vdots (n + 2)$.

Vì $2(n + 2) \vdots (n + 2)$ nên suy ra $3 \vdots (n + 2)$.

Do đó $(n + 2) \in \text{Ư}(3) = \{1; 3\}$.

Ta xét các trường hợp:

- $n + 2 = 1 \Rightarrow n = 1 - 2 = -1$ (loại vì $n \in \mathbb{N}$).

- $n + 2 = 3 \Rightarrow n = 3 - 2 = 1$ (thỏa mãn).

Vậy $n = 1$.

b) Chứng minh $7n+10$ và $5n+7$ ($n \in \mathbb{N}$) là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi $d = \text{ƯCLN}(7n+10, 5n+7)$ ($d \in \mathbb{N}^*$).

Ta có:

- $(7n+10) \vdots d \Rightarrow 5 \cdot (7n+10) \vdots d \Rightarrow (35n + 50) \vdots d$

- $(5n+7) \vdots d \Rightarrow 7 \cdot (5n+7) \vdots d \Rightarrow (35n + 49) \vdots d$

Suy ra:

$[(35n + 50) - (35n + 49)] \vdots d$

$\Rightarrow 1 \vdots d \Rightarrow d = 1$

Vì $\text{ƯCLN}(7n+10, 5n+7) = 1$ nên $7n+10$ và $5n+7$ là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

a) Tìm số tự nhiên $a$ nhỏ nhất

Theo đề bài:

- $a$ chia $2$ dư $1$ $\Rightarrow (a + 1) \vdots 2$

- $a$ chia $3$ dư $1$ $\Rightarrow (a + 1) \vdots 3$

- $a$ chia $5$ dư $4$ $\Rightarrow (a + 1) \vdots 5$

- $a$ chia $7$ dư $3$ $\Rightarrow (a + 11) \vdots 7 \Rightarrow (a + 1 + 10) \vdots 7$ (vì $10 \vdots 7$ dư $3$).

Xét số $A = a + 1$:

- $A \vdots 2, A \vdots 3, A \vdots 5 \Rightarrow A \in \text{BC}(2, 3, 5)$.

- Vì $\text{BCNN}(2, 3, 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$, nên $A \in \{30; 60; 90; 120; 150; 180; 210; \dots\}$.

Vì $a$ là số tự nhiên nhỏ nhất nên $A$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $(A + 10) \vdots 7$:

- Với $A = 30 \Rightarrow 30 + 10 = 40 \not\vdots 7$

- Với $A = 60 \Rightarrow 60 + 10 = 70 \vdots 7$ (Thỏa mãn)

Do $A = 60 \Rightarrow a + 1 = 60 \Rightarrow a = 59$.

Vậy số tự nhiên $a$ nhỏ nhất cần tìm là $59$.

Bài 5: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là $n$ ($n \in \mathbb{N}, 100 \le n \le 999$).

Theo đề bài:

- $n$ chia 6 dư 5 $\Rightarrow (n + 1) \vdots 6$

- $n$ chia 8 dư 7 $\Rightarrow (n + 1) \vdots 8$

- $n$ chia 9 dư 8 $\Rightarrow (n + 1) \vdots 9$

Suy ra $(n + 1) \in \text{BC}(6, 8, 9)$.

Ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

- $6 = 2 \cdot 3$

- $8 = 2^3$

- $9 = 3^2$

$\Rightarrow \text{BCNN}(6, 8, 9) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Do đó:

$(n + 1) \in \text{BC}(6, 8, 9) = \text{B}(72) = \{0; 72; 144; 216; 288; \dots\}$

$\Rightarrow n \in \{71; 143; 215; 287; \dots\}$

Vì $n$ là số tự nhiên có 3 chữ số nên $100 \le n \le 999$, suy ra $101 \le n + 1 \le 1000$.

Do $n + 1$ là bội của 72 trong khoảng từ 101 đến 1000, nên các giá trị của $n + 1$ thỏa mãn là:

$n + 1 \in \{144; 216; 288; 360; 432; 504; 576; 648; 720; 792; 864; 936\}$

Trừ 1 ở mỗi giá trị, ta được $n$:

$n \in \{143; 215; 287; 359; 431; 503; 575; 647; 719; 791; 863; 935\}$

Kết luận: Các số tự nhiên có 3 chữ số thỏa mãn đề bài là: $143; 215; 287; 359; 431; 503; 575; 647; 719; 791; 863; 935$.

Bài 4: Tìm số học sinh khối 6

Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là $a$ (học sinh, $a \in \mathbb{N}^*$).

Theo đề bài, ta có: $300 < a < 400$.

Vì khi xếp thành 12 hàng, 15 hàng, 18 hàng đều dư 9 học sinh nên:

- $(a - 9) \vdots 12$

- $(a - 9) \vdots 15$

- $(a - 9) \vdots 18$

Suy ra $(a - 9) \in \text{BC}(12, 15, 18)$.

Ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

- $12 = 2^2 \cdot 3$

- $15 = 3 \cdot 5$

- $18 = 2 \cdot 3^2$

$\Rightarrow \text{BCNN}(12, 15, 18) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.

Do đó:

$(a - 9) \in \text{BC}(12, 15, 18) = \text{B}(180) = \{0; 180; 360; 540; \dots\}$

$\Rightarrow a \in \{9; 189; 369; 549; \dots\}$

Vì $300 < a < 400$ nên $a = 369$.

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là 369 học sinh.

Bài 3: Tìm $x$

a) $x \vdots 4; x \vdots 7; x \vdots 8$ và $x$ nhỏ nhất khác 0

(Lưu ý: Để bài toán có đáp án thực tế, $x$ là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0).

Vì $x \vdots 4$, $x \vdots 7$, $x \vdots 8$ và $x$ là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 nên $x = \text{BCNN}(4, 7, 8)$.

Ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

- $4 = 2^2$

- $7 = 7$

- $8 = 2^3$

Thừa số nguyên tố chung và riêng là $2$ và $7$.

$\Rightarrow \text{BCNN}(4, 7, 8) = 2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$.

Vậy $x = 56$.

b) $x \vdots 10; x \vdots 15$ và $x < 100$ ($x \in \mathbb{N}$)

Vì $x \vdots 10$ và $x \vdots 15$ nên $x \in \text{BC}(10, 15)$.

Ta có:

- $10 = 2 \cdot 5$

- $15 = 3 \cdot 5$

- $\Rightarrow \text{BCNN}(10, 15) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Suy ra:

$\text{BC}(10, 15) = \text{B}(30) = \{0; 30; 60; 90; 120; \dots\}$

Vì $x < 100$ và $x \in \mathbb{N}$ nên $x \in \{0; 30; 60; 90\}$.

Vậy $x \in \{0; 30; 60; 90\}$.

Bài 2: Chứng minh $7n+10$ và $5n+7$ là hai số nguyên tố cùng nhau ($n \in \mathbb{N}$)

Gọi $d = \text{ƯCLN}(7n+10, 5n+7)$ ($d \in \mathbb{N}^*$).

Theo bài ra ta có:

- $(7n+10) \vdots d \Rightarrow 5 \cdot (7n+10) \vdots d \Rightarrow (35n + 50) \vdots d$

- $(5n+7) \vdots d \Rightarrow 7 \cdot (5n+7) \vdots d \Rightarrow (35n + 49) \vdots d$

Suy ra:

$[(35n + 50) - (35n + 49)] \vdots d$

$\Rightarrow (35n + 50 - 35n - 49) \vdots d$

$\Rightarrow 1 \vdots d$

Vì $1 \vdots d$ và $d \in \mathbb{N}^*$ nên $d = 1$.

Vì $\text{ƯCLN}(7n+10, 5n+7) = 1$ nên $7n+10$ và $5n+7$ là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)