Bài 1: Tìm ƯCLN của $2n+3$ và $4n+3$ ($n \in \mathbb{N}$)

Gọi $d = \text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3)$ ($d \in \mathbb{N}^*$).

Theo tính chất của ước chung, ta có:

- $(2n+3) \vdots d \Rightarrow 2 \cdot (2n+3) \vdots d \Rightarrow (4n+6) \vdots d$

- $(4n+3) \vdots d$

Suy ra:

$[(4n+6) - (4n+3)] \vdots d$

$\Rightarrow (4n + 6 - 4n - 3) \vdots d$

$\Rightarrow 3 \vdots d$

Do $3 \vdots d$ nên $d \in \text{Ư}(3) = \{1; 3\}$.

- Nếu $d = 3 \Rightarrow (2n+3) \vdots 3 \Rightarrow 2n \vdots 3$. Vì $\text{ƯCLN}(2, 3) = 1$ nên $n \vdots 3$.

- Do đó:

+ Khi $n$ chia hết cho 3 (tức $n = 3k$ với $k \in \mathbb{N}$) thì $\text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3) = 3$.

+ Khi $n$ không chia hết cho 3 (tức $n$ không có dạng $3k$) thì $\text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3) = 1$.

Kết luận:

- Nếu $n \vdots 3$ thì $\text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3) = 3$.

- Nếu $n \not\vdots 3$ thì $\text{ƯCLN}(2n+3, 4n+3) = 1$.

Bài 2.

Theo đề bài, ta có:

- \(a\) chia cho 8 dư 6 nên \(a+2\) chia hết cho 8.

- \(a\) chia cho 12 dư 10 nên \(a+2\) chia hết cho 12.

- \(a\) chia cho 15 dư 13 nên \(a+2\) chia hết cho 15.

Vậy \(a+2\) là bội chung của 8; 12; 15.

Ta có:

\(8=2^3\)

\(12=2^2\cdot3\)

\(15=3\cdot5\)

Suy ra:

\(\operatorname{BCNN}(8;12;15)=2^3\cdot3\cdot5=120\).

Do đó, đặt \(a+2=120k\), suy ra:

\(a=120k-2\), với \(k\in\mathbb N\).

Vì \(a\) chia hết cho 23 nên:

\(120k-2\) chia hết cho 23.

Mà \(120=23\cdot5+5\), nên:

\(5k-2\) chia hết cho 23.

Suy ra \(5k\) chia cho 23 dư 2.

Thử \(k=1,2,3,\ldots\), ta thấy \(k=5\) không thỏa mãn; \(k=14\) thỏa mãn vì \(5\cdot14=70\) chia cho 23 dư 1, không phải dư 2.

Ta giải chính xác:

\(5k\equiv2\pmod{23}\).

Vì \(5\cdot14=70\equiv1\pmod{23}\), nhân hai vế với 14, ta được:

\(k\equiv28\equiv5\pmod{23}\).

Vậy \(k\) nhỏ nhất là 5.

Suy ra:

\(a=120\cdot5-2=598\).

Kiểm tra:

- \(598\) chia cho 8 dư 6.

- \(598\) chia cho 12 dư 10.

- \(598\) chia cho 15 dư 13.

- \(598=23\cdot26\), nên chia hết cho 23.

Kết luận: Số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là \(a=598\).

Gọi số cần tìm là \(a\).

Theo đề bài, ta có:

- \(a\) chia cho 2 dư 1 nên \(a+1\) chia hết cho 2.

- \(a\) chia cho 3 dư 2 nên \(a+1\) chia hết cho 3.

- \(a\) chia cho 4 dư 3 nên \(a+1\) chia hết cho 4.

- \(a\) chia cho 5 dư 4 nên \(a+1\) chia hết cho 5.

- \(a\) chia cho 6 dư 5 nên \(a+1\) chia hết cho 6.

Vậy \(a+1\) là bội chung của 2; 3; 4; 5; 6.

Ta có:

\(\operatorname{BCNN}(2;3;4;5;6)=60\).

Suy ra \(a+1\) chia hết cho 60, hay \(a=60k-1\), với \(k\in\mathbb N\).

Vì \(a\) là số có 3 chữ số nên:

\(100\le a\le999\).

Suy ra:

\(101\le60k\le1000\).

Vậy \(k\le16\).

Để \(a\) lớn nhất, chọn \(k=16\).

Khi đó:

\(a=60\cdot16-1=959\).

Kết luận: Số tự nhiên cần tìm là \(959\).

Vì \(n\) chia cho 5 dư 3 nên \(n\) có dạng:

\(n=5k+3\), với \(k\in\mathbb N\).

Vì \(n<200\) nên:

\(5k+3<200\)

\(5k<197\)

\(k<39,4\).

Do đó \(k\le39\).

Vì \(n\) chia cho 7 dư 6 nên:

\(5k+3\equiv6\pmod 7\)

\(5k\equiv3\pmod 7\).

Thử các giá trị \(k\le39\), ta thấy \(k=39\) không thỏa mãn vì \(5\cdot39=195\) chia cho 7 dư 6, không dư 3.

Ta có \(5k\equiv3\pmod 7\), suy ra \(k\equiv2\pmod 7\).

Các giá trị \(k\le39\) có dạng \(k=7t+2\). Để \(n\) lớn nhất, chọn \(k\) lớn nhất không vượt quá 39:

\(k=37\).

Khi đó:

\(n=5\cdot37+3=188\).

Kiểm tra: \(188:5\) dư 3, nhưng \(188:7\) dư 6.

Kết luận: Số tự nhiên cần tìm là \(188\).

Khi chia một số tự nhiên cho 4, số dư chỉ có thể là \(0,\ 1,\ 2,\ 3\).

Như vậy, chỉ có 4 số dư khác nhau.

Trong 5 số tự nhiên bất kì, nếu mỗi số đều có số dư khác nhau khi chia cho 4 thì phải có 5 số dư khác nhau, điều này không thể xảy ra vì chỉ có 4 số dư.

Vậy trong 5 số tự nhiên bất kì, luôn có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 4.

Gọi hai số chẵn liên tiếp là \(2n\) và \(2n+2\), với \(n\in\mathbb N\).

Tích của hai số đó là:

\(2n(2n+2)=4n(n+1)\).

Vì \(n\) và \(n+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chẵn, do đó \(n(n+1)\) chia hết cho 2.

Suy ra \(4n(n+1)\) chia hết cho \(4\cdot2=8\).

Vậy tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.

Bài 6. Cho \(S=1+5+5^2+\cdots+5^{20}\). Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(4S+1=5^n\).

Ta có:

\(S=1+5+5^2+\cdots+5^{20}\).

Nhân hai vế với 4:

\(4S=4+4\cdot5+4\cdot5^2+\cdots+4\cdot5^{20}\).

Mà:

- \(4=5-1\)

- \(4\cdot5=5^2-5\)

- \(4\cdot5^2=5^3-5^2\)

Tương tự, \(4\cdot5^{20}=5^{21}-5^{20}\).

Do đó:

\(4S=(5-1)+(5^2-5)+\cdots+(5^{21}-5^{20})\).

Các số hạng đối nhau triệt tiêu, còn lại:

\(4S=5^{21}-1\).

Suy ra:

\(4S+1=5^{21}\).

Theo đề bài, \(4S+1=5^n\), nên:

\(5^n=5^{21}\Rightarrow n=21\).

Kết luận: \(n=21\).

Bài 5. Tính tổng các ước số của \(A=2^{17}\cdot5\).

Ta có \(A=2^{17}\cdot5^1\).

Các ước số tự nhiên của \(A\) có dạng \(2^i\cdot5^j\), với \(0\le i\le17\) và \(0\le j\le1\).

Gọi tổng các ước số của \(A\) là \(S\).

Ta có:

\(S=(1+2+2^2+\cdots+2^{17})(1+5)\)

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:

\(1+2+2^2+\cdots+2^{17}=2^{18}-1\).

Suy ra:

\(S=(2^{18}-1)\cdot6\)

\(S=(262144-1)\cdot6\)

\(S=262143\cdot6=1572858\).

Kết luận: Tổng các ước số của \(A\) là \(1572858\).

Bài 4. Tìm số tự nhiên \(a\) nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Vì \(a\) chia cho 4 dư 3 nên đặt:

\(a=4k+3\).

Vì \(a\) chia cho 17 dư 9 nên:

\(4k+3\equiv 9\pmod {17}\)

\(4k\equiv 6\pmod {17}\)

Thử các giá trị, ta được \(k\equiv 15\pmod {17}\).

Đặt \(k=17t+15\), suy ra:

\(a=4(17t+15)+3\)

\(a=68t+63\).

Vì \(a\) chia cho 19 dư 13 nên:

\(68t+63\equiv 13\pmod {19}\)

\(11t+6\equiv 13\pmod {19}\)

\(11t\equiv 7\pmod {19}\).

Thử \(t=11\), ta có:

\(11\cdot11=121=19\cdot6+7\).

Vậy \(t=11\) thỏa mãn. Nghiệm không âm nhỏ nhất là \(t=11\), nên:

\(a=68\cdot11+63=811\).

Kết luận: \(a_{\min}=811\).

Bài 3. Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.

Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là \(a,\ a+2,\ a+4\).

Trong ba số lẻ liên tiếp này, có một số chia hết cho 3.

Để cả ba số đều là số nguyên tố thì số chia hết cho 3 phải bằng 3.

Vì ba số tăng dần nên ba số đó là \(3,\ 5,\ 7\).

Cả ba số đều là số nguyên tố.

Kết luận: Ba số cần tìm là \(3,\ 5,\ 7\).