$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2n$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2n$

Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:

$k^2+2n=a(a-1)$.

Ta có $n(n+1)=k$ nên:

$k^2+2n=3^m(3^m-1)$.

Xét modulo $3^m$:

$k^2+2n\equiv0\pmod{3^m}$.

Vì $k=n(n+1)$ nên bài toán dẫn đến $m=1,n=1$.

Kiểm tra:

$9-3=6$

$1+2+1+2=6$.

Vậy $(m,n)=(1,1)$.

$3^m=n^2+2n-8$

$3^m=(n+1)^2-9$

$(n+1)^2=3^m+9$

$3^m=3^2(3^{m-2}+1)$

Vì $3^m$ chia hết cho $9$ nên $m\ge2$.

Chia hai vế cho $9$:

$3^{m-2}=\dfrac{(n+1)^2}{9}-1$

Do đó $3\mid n+1$, đặt $n+1=3k$:

$3^{m-2}=k^2-1$

$(k-1)(k+1)=3^{m-2}$

Hai số $k-1,k+1$ là hai số nguyên dương hơn kém nhau $2$, đồng thời tích là lũy thừa của $3$.

Suy ra:

$k-1=1,\quad k+1=3$

$k=2$

$3^{m-2}=3$

$m=3$

$n+1=3k=6$

$n=5$

Vậy $(m,n)=(3,5)$.

Ta có:

$9^m-3^m=n^4+2n^3+n^2+2$

$3^m(3^m-1)=n^2(n+1)^2+2$

Đặt $a=3^m,\ k=n(n+1)$:

$k^2=a(a-1)-2$

$k^2=a^2-a-2$

$4k^2=(2a-1)^2-9$

$\Rightarrow (2a-1-2k)(2a-1+2k)=9$

Vì $a=3^m\ge3$, hai thừa số dương và là số nguyên lẻ.

Do đó:

$2a-1-2k=1$

$2a-1+2k=9$

Cộng hai phương trình:

$4a-2=10$

$a=3$

$\Rightarrow 3^m=3\Rightarrow m=1$

Khi đó:

$k=2$

$n(n+1)=2$

$\Rightarrow n=1$.

Vậy: $(m,n)=(1,1)$.

Bạn kiểm tra lại nội dung câu hỏi nhé

Bạn thử F5 xem nhé

Trường hợp tạo muối trung hòa (khi $\text{NaOH}$ dư hoặc tỉ lệ mol phù hợp)

$\text{SO}_3 + 2\text{NaOH} \rightarrow \text{Na}_2\text{SO}_4 + \text{H}_2\text{O}$

Trường hợp tạo muối axit (khi $\text{SO}_3$ dư hoặc tỉ lệ mol phù hợp):

$\text{SO}_3 + \text{NaOH} \rightarrow \text{NaHSO}_4$

Đặt $t=\sqrt{x}\ge0$. Điều kiện xác định:

$x\ge0,\quad x\ne1$.

Ta có

$A=\left(\dfrac{2x+1}{x\sqrt{x}-1}-\dfrac1{\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\dfrac{x-2}{x+\sqrt{x}}\right)$

$=\left(\dfrac{2t^2+1}{t^3-1}-\dfrac1{t-1}\right):\left(1-\dfrac{t^2-2}{t^2+t}\right)$

$=\dfrac{t}{t^2+t+1}:\dfrac{t+2}{t(t+1)}$

$=\dfrac{t^2(t+1)}{(t^2+t+1)(t+2)}$

Vậy:

$A=\dfrac{x(\sqrt{x}+1)}{(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}$.

a) Rút gọn

$A=\dfrac{x(\sqrt{x}+1)}{(x+\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}$.

b) Với $x=\dfrac{2-\sqrt3}{2}$

Ta có $\sqrt{x}=\dfrac{\sqrt3-1}{2}$.

Thay vào biểu thức rút gọn:

$A\approx0,0274$.

Vậy $A\approx0,0274$.

c) Tìm $x\in\mathbb Z$ để $A\in\mathbb Z$

Vì $x\in\mathbb Z,\ x\ge0$.

Nếu $x=0$:

$A=0\in\mathbb Z$.

Với $x>0$, ta có:

$A=\dfrac{t^2(t+1)}{(t^2+t+1)(t+2)}$

Mà

$(t^2+t+1)(t+2)-t^2(t+1)=2t^2+3t+2>0$

nên $0<A<1$.

Do đó $A$ không thể là số nguyên.

Vậy $x=0$.

d) Tìm GTNN của $A$

Vì $A\ge0$ nên:

$A_{\min}=0$

khi $x=0$.

Vậy GTNN là $0$.

e) Tìm $x$ để $A=\dfrac13$

$\dfrac{t^2(t+1)}{(t^2+t+1)(t+2)}=\dfrac13$

$3t^2(t+1)=(t^2+t+1)(t+2)$

$2t^3-3t-2=0$

Phương trình có nghiệm dương:

$t\approx1,47569$

Suy ra:

$x=t^2\approx2,17765$.

Vậy $x\approx2,178$.

g) So sánh $A$ với $1$

$A-1$

$=\dfrac{t^2(t+1)-(t^2+t+1)(t+2)}{(t^2+t+1)(t+2)}$

$=\dfrac{-2t^2-3t-2}{(t^2+t+1)(t+2)}<0$

Vậy:

$A<1$.

h) Tìm $x$ để $A>12$

Theo câu g:

$A<1$.

Mà:

$1<12$

$\Rightarrow A<12$.

Do đó không thể có $A>12$.

Vậy không có giá trị $x$ nào thỏa mãn.

Gọi số có 4 chữ số là $\overline{abcd}$.

Trung bình cộng các chữ số bằng $3$:

$\frac{a+b+c+d}{4}=3$

$a+b+c+d=12$

Chữ số hàng nghìn gấp 3 lần hàng trăm:

$a=3b$

$\Rightarrow a+b=4b$

Vì $a\le9$ nên $b=1,2,3$.

- $b=1\Rightarrow a=3,\ c+d=8$

- $b=2\Rightarrow a=6,\ c+d=4$

- $b=3\Rightarrow a=9,\ c+d=0\Rightarrow c=d=0$

Ví dụ chọn $b=3$ thì số là:

$\boxed{9300}$

Kiểm tra:

$\frac{9+3+0+0}{4}=3$

và $9=3\times3$.

2.

$x^5-x^4+x^3-x^2+x-1$

$=x^4(x-1)+x^2(x-1)+(x-1)$

$=(x-1)(x^4+x^2+1)$

$=(x-1)\left[(x^2+1)^2-x^2\right]$

$=(x-1)(x^2+1-x)(x^2+1+x)$

$=(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$