Bài 2. Tìm số nguyên tố \(p\) sao cho \(p+4,\ p+10,\ p+14\) đều là số nguyên tố.

Nếu \(p=2\), thì \(p+4=6\) không phải số nguyên tố.

Nếu \(p=3\), ta có \(p+4=7,\ p+10=13,\ p+14=17\), đều là số nguyên tố.

Xét \(p>3\). Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p\) không chia hết cho 3.

Khi chia \(p\) cho 3, ta có hai trường hợp:

- Nếu \(p\) chia 3 dư 1 thì \(p+14\) chia hết cho 3.

- Nếu \(p\) chia 3 dư 2 thì \(p+4\) chia hết cho 3.

Các số \(p+4\) và \(p+14\) đều lớn hơn 3 nên nếu chia hết cho 3 thì không phải số nguyên tố.

Vậy chỉ có \(p=3\) thỏa mãn.

Kết luận: \(p=3\).

Bài 1. Tìm ƯCLN \((2n+1;\ 9n+5)\), với \(n\in\mathbb N\)

Gọi \(d=\operatorname{ƯCLN}(2n+1;\ 9n+5)\).

Vì \(d\) là ước chung của \(2n+1\) và \(9n+5\), nên:

- \(d\mid (2n+1)\)

- \(d\mid (9n+5)\)

Suy ra:

\(d\mid [9n+5-4(2n+1)]\)

\(d\mid (n+1)\)

Mặt khác:

\(d\mid [(2n+1)-2(n+1)]\)

\(d\mid (-1)\)

Vậy \(d=1\).

Kết luận: ƯCLN \((2n+1;\ 9n+5)=1\).

Vì \(n+4\) chia hết cho \(n+1\) nên \((n+4)-(n+1)\) chia hết cho \(n+1\).

Suy ra \(3\) chia hết cho \(n+1\).

Do đó \(n+1\) là ước dương của \(3\).

Ta có \(n+1=1\) hoặc \(n+1=3\).

- Với \(n+1=1\), suy ra \(n=0\).

- Với \(n+1=3\), suy ra \(n=2\).

Vậy \(n\in\{0;2\}\).

Ta có:

\(n^2+4=(n+2)(n-2)+8\).

Vì \(n^2+4\) chia hết cho \(n+2\) nên \(8\) chia hết cho \(n+2\).

Suy ra \(n+2\) là ước dương của \(8\).

Ta có \(n+2\in\{1;2;4;8\}\).

Vì \(n\) là số tự nhiên nên \(n+2\geq 2\).

Do đó \(n+2\in\{2;4;8\}\).

- Với \(n+2=2\), suy ra \(n=0\).

- Với \(n+2=4\), suy ra \(n=2\).

- Với \(n+2=8\), suy ra \(n=6\).

Vậy \(n\in\{0;2;6\}\).

Gọi số lớn là \(a\) (\(a>8\)).

Theo đề bài, ta có:

\(\text{ƯCLN}(8,a)=4\).

Vì \(a\) là bội của \(4\) nên \(a=4k\), với \(k\) là số tự nhiên.

Ta có:

\(\text{ƯCLN}(8,4k)=4\).

Suy ra \(\text{ƯCLN}(2,k)=1\).

Vậy \(k\) là số lẻ.

Do \(a>8\) nên \(4k>8\), suy ra \(k>2\).

Vì \(k\) là số lẻ lớn hơn \(2\) nên \(k\) có thể là \(3,5,7,\ldots\).

Suy ra \(a\) có thể là \(12,20,28,\ldots\).

Vậy số lớn có thể là \(12,20,28,\ldots\), tức là có vô số đáp án.

Lưu ý: Đề bài chưa đủ dữ kiện để xác định duy nhất số lớn. Nếu yêu cầu tìm số lớn nhỏ nhất thì đáp án là \(12\).

Vì \(a\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(a\) là số lẻ và không chia hết cho \(3\).

Do \(a\) là số lẻ nên \(a-1\) và \(a+4\) là hai số chẵn.

Suy ra \((a-1)(a+4)\) chia hết cho \(2\).

Mặt khác, vì \(a\) không chia hết cho \(3\) nên \(a\) chia cho \(3\) dư \(1\) hoặc dư \(2\).

Vậy trong hai số \(a-1\) và \(a+4\) luôn có một số chia hết cho \(3\).

Suy ra \((a-1)(a+4)\) chia hết cho \(3\) và chia hết cho \(2\).

Mà \(2\) và \(3\) nguyên tố cùng nhau nên \((a-1)(a+4)\) chia hết cho \(6\).

Vậy điều phải chứng minh.

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là \(n,n+1,n+2,n+3\).

Ta xét tích \(A=n(n+1)(n+2)(n+3)\).

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp luôn có:

- Một số chia hết cho \(4\).

- Một số chia hết cho \(2\).

- Ít nhất một số chia hết cho \(3\).

Do đó \(A\) chia hết cho \(4\cdot 2\cdot 3=24\).

Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho \(24\).

Gọi hai số lẻ liên tiếp là \(2n+1\) và \(2n+3\) (\(n\in\mathbb{N}\)).

Gọi \(d\) là ước chung của hai số đó.

Ta có \(d\mid (2n+1)\) và \(d\mid (2n+3)\).

Suy ra \(d\mid [(2n+3)-(2n+1)]\).

Hay \(d\mid 2\).

Vì \(2n+1\) là số lẻ nên \(d\) là số lẻ.

Mà \(d\) là ước của \(2\) nên \(d=1\).

Vậy hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.

Gọi \(d\) là ước chung của \(2n+5\) và \(3n+7\).

Ta có \(d\mid (2n+5)\) và \(d\mid (3n+7)\).

Suy ra \(d\mid [2(3n+7)-3(2n+5)]\).

Hay \(d\mid (6n+14-6n-15)\).

Suy ra \(d\mid (-1)\).

Vậy \(d=1\).

Do đó \(2n+5\) và \(3n+7\) nguyên tố cùng nhau.

Ta có:

\(398\) chia \(a\) dư \(38\) nên \(398-38=360\) chia hết cho \(a\).

Suy ra \(360\) chia hết cho \(a\).

\(450\) chia \(a\) dư \(18\) nên \(450-18=432\) chia hết cho \(a\).

Suy ra \(432\) chia hết cho \(a\).

Vậy \(a\) là ước chung của \(360\) và \(432\).

Ta có:

\(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\)

\(432=2^4\cdot 3^3\)

Suy ra \(\text{ƯCLN}(360,432)=2^3\cdot 3^2=72\).

Do đó \(a\) là ước của \(72\).

Mặt khác, số dư phải nhỏ hơn số chia nên \(a>38\).

Các ước của \(72\) lớn hơn \(38\) là \(72\).

Vậy \(a=72\).

Vì chia \(a\) cho \(11\) dư \(5\) nên \(a=11k+5\) (\(k\in\mathbb{N}\)).

Vì chia \(a\) cho \(13\) dư \(8\) nên \(a=13m+8\) (\(m\in\mathbb{N}\)).

Ta có:

\(11k+5=13m+8\)

Suy ra \(11k-13m=3\).

Mặt khác, từ \(a=11k+5\), vì \(a\) có 3 chữ số nên:

\(100\leq 11k+5\)

Suy ra \(k\geq 9\).

Ta thử các giá trị \(k\) từ \(9\) trở lên để tìm \(a\) nhỏ nhất.

Với \(k=9\), \(a=11\times9+5=104\), nhưng \(104:13\) dư \(0\), không thỏa mãn.

Với \(k=10\), \(a=11\times10+5=115\), nhưng \(115:13\) dư \(11\), không thỏa mãn.

Với \(k=11\), \(a=11\times11+5=126\), nhưng \(126:13\) dư \(9\), không thỏa mãn.

Với \(k=12\), \(a=11\times12+5=137\), chia \(13\) dư \(7\), không thỏa mãn.

Với \(k=13\), \(a=11\times13+5=148\), chia \(13\) dư \(5\), không thỏa mãn.

Với \(k=14\), \(a=11\times14+5=159\), chia \(13\) dư \(3\), không thỏa mãn.

Với \(k=15\), \(a=11\times15+5=170\), chia \(13\) dư \(1\), không thỏa mãn.

Với \(k=16\), \(a=11\times16+5=181\), chia \(13\) dư \(12\), không thỏa mãn.

Với \(k=17\), \(a=11\times17+5=192\), chia \(13\) dư \(10\), không thỏa mãn.

Với \(k=18\), \(a=11\times18+5=203\), chia \(13\) dư \(8\), thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vì đã thử tất cả các giá trị nhỏ hơn \(k=18\) mà không thỏa mãn nên \(a=203\) là số nhỏ nhất cần tìm.

Vậy \(a=203\).

Gọi số nhỏ là \(a\).

Vì ƯCLN của hai số là \(45\) nên số nhỏ chia hết cho \(45\).

Do số lớn là \(270\), ta có \(a<270\).

Mặt khác, vì ƯCLN của \(a\) và \(270\) bằng \(45\) nên \(a\) có dạng \(a=45k\), với \(k\) là số tự nhiên.

Ta có:

\(270=45\times 6\).

Vì \(a<270\) nên \(k<6\).

Để ƯCLN của \(45k\) và \(270\) bằng \(45\), ta cần ƯCLN của \(k\) và \(6\) bằng \(1\).

Các giá trị \(k<6\) thỏa mãn là \(k=1;5\).

Suy ra \(a=45\) hoặc \(a=225\).

Vậy số nhỏ có thể là \(45\) hoặc \(225\).

Lưu ý: Bài toán có hai đáp án nếu chỉ cho biết ƯCLN bằng \(45\) và số lớn bằng \(270\).

a) Hai số lẻ liên tiếp

Gọi hai số lẻ liên tiếp là \(2n+1\) và \(2n+3\) (\(n\in\mathbb{N}\)).

Gọi \(d\) là ước chung của hai số đó.

Ta có: \(d\mid (2n+1)\) và \(d\mid (2n+3)\).

Suy ra \(d\mid [(2n+3)-(2n+1)]\).

Hay \(d\mid 2\).

Vì \(2n+1\) là số lẻ nên \(d\) là số lẻ.

Mà \(d\) là ước của \(2\) nên \(d=1\).

Vậy hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.

b) \(2n+5\) và \(3n+7\) (\(n\) là số tự nhiên)

Gọi \(d\) là ước chung của \(2n+5\) và \(3n+7\).

Ta có: \(d\mid (2n+5)\) và \(d\mid (3n+7)\).

Suy ra \(d\mid [2(3n+7)-3(2n+5)]\).

Hay \(d\mid (6n+14-6n-15)\).

Suy ra \(d\mid (-1)\).

Vậy \(d=1\).

Do đó, \(2n+5\) và \(3n+7\) nguyên tố cùng nhau.