b/ Chứng minh $(n+3)(n+6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$

Xét hai trường hợp của số tự nhiên $n$:

Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 6 = 2k + 6 = 2(k + 3) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+3)(n+6) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+3)(n+6) \vdots 2$.

Vậy $(n+3)(n+6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

a/ Chứng minh $(n+3)(n+10) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$

Xét hai trường hợp của số tự nhiên $n$:

Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 10 = 2k + 10 = 2(k + 5) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+3)(n+10) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+3)(n+10) \vdots 2$.

Vậy $(n+3)(n+10) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

2. Chứng tỏ rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $n(n+5) \vdots 2$

Xét hai trường hợp của số tự nhiên $n$:

Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n \vdots 2$.

Suy ra tích $n(n+5) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 5 = 2k + 1 + 5 = 2k + 6 = 2(k + 3) \vdots 2$.

Suy ra tích $n(n+5) \vdots 2$.

Vậy $n(n+5) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

1. Chứng tỏ rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $(n+3)(n+6) \vdots 2$

Xét hai trường hợp của số tự nhiên $n$:

Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 6 = 2k + 6 = 2(k + 3) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+3)(n+6) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n+3)(n+6) \vdots 2$.

Vậy $(n+3)(n+6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

3. Cho $A = n^2 + n + 1$

a) Chứng minh $A$ không chia hết cho 2

Ta biến đổi biểu thức $A$:

$A = n^2 + n + 1 = n(n + 1) + 1$

Ta thấy $n$ và $n + 1$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích $n(n + 1)$ luôn là số chẵn, tức là $n(n + 1) \vdots 2$.

Mà $1 \not\vdots 2$.

Suy ra $A = n(n + 1) + 1$ không chia hết cho 2. (ĐPCM)

b) Chứng minh $A$ không chia hết cho 5

Ta có $A = n(n + 1) + 1$. Xét các trường hợp số dư của $n$ khi chia cho 5:

Trường hợp 1: $n \vdots 5 \Rightarrow n$ có tận cùng là $0$ hoặc $5$.

$\Rightarrow n(n + 1)$ có tận cùng là $0$.

$\Rightarrow A = n(n + 1) + 1$ có tận cùng là $1 \Rightarrow A \not\vdots 5$.

Trường hợp 2: $n$ chia 5 dư 1 $\Rightarrow n$ có tận cùng là $1$ hoặc $6$.

$\Rightarrow n + 1$ có tận cùng là $2$ hoặc $7$.

$\Rightarrow n(n + 1)$ có tận cùng là $2$.

$\Rightarrow A = n(n + 1) + 1$ có tận cùng là $3 \Rightarrow A \not\vdots 5$.

Trường hợp 3: $n$ chia 5 dư 2 $\Rightarrow n$ có tận cùng là $2$ hoặc $7$.

$\Rightarrow n + 1$ có tận cùng là $3$ hoặc $8$.

$\Rightarrow n(n + 1)$ có tận cùng là $6$.

$\Rightarrow A = n(n + 1) + 1$ có tận cùng là $7 \Rightarrow A \not\vdots 5$.

Trường hợp 4: $n$ chia 5 dư 3 $\Rightarrow n$ có tận cùng là $3$ hoặc $8$.

$\Rightarrow n + 1$ có tận cùng là $4$ hoặc $9$.

$\Rightarrow n(n + 1)$ có tận cùng là $2$.

$\Rightarrow A = n(n + 1) + 1$ có tận cùng là $3 \Rightarrow A \not\vdots 5$.

Trường hợp 5: $n$ chia 5 dư 4 $\Rightarrow (n + 1) \vdots 5$.

$\Rightarrow n(n + 1) \vdots 5$ (tận cùng là $0$ hoặc $5$).

$\Rightarrow A = n(n + 1) + 1$ có tận cùng là $1$ hoặc $6 \Rightarrow A \not\vdots 5$.

Trong mọi trường hợp, $A$ đều không chia hết cho 5. (ĐPCM)

2. Chứng tỏ rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $n(n + 5) \vdots 2$

Xét hai trường hợp của số tự nhiên $n$:

Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n \vdots 2$.

Suy ra tích $n(n + 5) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 5 = 2k + 1 + 5 = 2k + 6 = 2(k + 3) \vdots 2$.

Suy ra tích $n(n + 5) \vdots 2$.

Vậy $n(n + 5) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

1. Chứng tỏ rằng với mọi $n \in \mathbb{N}$ thì $(n + 3)(n + 6) \vdots 2$

Xét hai trường hợp của số tự nhiên $n$:

Trường hợp 1: $n$ là số chẵn ($n = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 6 = 2k + 6 = 2(k + 3) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n + 3)(n + 6) \vdots 2$.

Trường hợp 2: $n$ là số lẻ ($n = 2k + 1$ với $k \in \mathbb{N}$).

$\Rightarrow n + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2) \vdots 2$.

Suy ra tích $(n + 3)(n + 6) \vdots 2$.

Vậy $(n + 3)(n + 6) \vdots 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}$. (ĐPCM)

(j) Chứng minh $5^{2n-1} \cdot 2^{6n+1} + 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1} \vdots 38$ với mọi $n > 1$

Biến đổi biểu thức:

$E = 5^{2n-1} \cdot 2^{6n+1} + 3^{n+1} \cdot 2^{2n-1}$

$E = 5^{2n-1} \cdot 2^{6n-3+4} + 3^{n-1+2} \cdot 2^{2n-1}$

$E = 5^{2n-1} \cdot 2^{3(2n-1)} \cdot 2^4 + 3^{n-1} \cdot 3^2 \cdot 2^{2n-1}$

$E = 5^{2n-1} \cdot 8^{2n-1} \cdot 16 + 9 \cdot 3^{n-1} \cdot 2^{2n-1}$

$E = 16 \cdot (5 \cdot 8)^{2n-1} + 9 \cdot 3^{n-1} \cdot 2^{2n-1}$

$E = 16 \cdot 40^{2n-1} + 9 \cdot 3^{n-1} \cdot 2^{2n-1}$

Ta biến đổi để làm xuất hiện thừa số $(40 - 2 = 38)$:

$E = 16 \cdot (40^{2n-1} - 2^{2n-1}) + 16 \cdot 2^{2n-1} + 9 \cdot 3^{n-1} \cdot 2^{2n-1}$

$E = 16 \cdot (40^{2n-1} - 2^{2n-1}) + 2^{2n-1} \cdot (16 + 9 \cdot 3^{n-1})$

Vì $n > 1$ nên $n - 1 \ge 1$, ta xét $(16 + 9 \cdot 3^{n-1})$:

$16 + 9 \cdot 3^{n-1} = 16 + 9 \cdot (3^{n-1} - 1) + 9$

$= 25 + 9 \cdot (3^{n-1} - 1)$

Thế vào lại biểu thức $E$:

Ta có $(40^{2n-1} - 2^{2n-1}) \vdots (40 - 2) \Rightarrow (40^{2n-1} - 2^{2n-1}) \vdots 38$.

Với $n > 1$, $2^{2n-1} \vdots 2$. Do đó $2^{2n-1} \cdot (16 + 9 \cdot 3^{n-1}) \vdots 38$ (vì $16 + 9 \cdot 3^{n-1}$ chẵn khi $n > 1$).

Suy ra $E \vdots 38$ với mọi $n > 1$. (ĐPCM)

(i) Chứng minh $11^{n+2} + 12^{2n+1} \vdots 133$ với mọi $n > 1$

Biến đổi biểu thức:

$D = 11^{n+2} + 12^{2n+1}$

$D = 11^n \cdot 11^2 + 12^{2n} \cdot 12^1$

$D = 121 \cdot 11^n + (12^2)^n \cdot 12$

$D = 121 \cdot 11^n + 12 \cdot 144^n$

Tách $121 = 133 - 12$:

$D = (133 - 12) \cdot 11^n + 12 \cdot 144^n$

$D = 133 \cdot 11^n - 12 \cdot 11^n + 12 \cdot 144^n$

$D = 133 \cdot 11^n + 12 \cdot (144^n - 11^n)$

Ta có $133 \cdot 11^n \vdots 133$.

Do $(144^n - 11^n) \vdots (144 - 11) \Rightarrow (144^n - 11^n) \vdots 133$.

Suy ra $12 \cdot (144^n - 11^n) \vdots 133$.

Vậy $D \vdots 133$ với mọi $n > 1$. (ĐPCM)

(h) Chứng minh $5^{2n+1} + 2^{n+4} + 2^{n+1} \vdots 23$ với mọi $n > 1$

Biến đổi biểu thức:

$C = 5^{2n+1} + 2^{n+4} + 2^{n+1}$

$C = 5^{2n} \cdot 5^1 + 2^n \cdot 2^4 + 2^n \cdot 2^1$

$C = 5 \cdot (5^2)^n + 2^n \cdot 16 + 2^n \cdot 2$

$C = 5 \cdot 25^n + 2^n \cdot (16 + 2)$

$C = 5 \cdot 25^n + 18 \cdot 2^n$

Thêm và bớt $5 \cdot 2^n$:

$C = 5 \cdot 25^n - 5 \cdot 2^n + 5 \cdot 2^n + 18 \cdot 2^n$

$C = 5 \cdot (25^n - 2^n) + (5 + 18) \cdot 2^n$

$C = 5 \cdot (25^n - 2^n) + 23 \cdot 2^n$

Ta có $23 \cdot 2^n \vdots 23$.

Do $(25^n - 2^n) \vdots (25 - 2) \Rightarrow (25^n - 2^n) \vdots 23$.

Suy ra $5 \cdot (25^n - 2^n) \vdots 23$.

Vậy $C \vdots 23$ với mọi $n > 1$. (ĐPCM)