Cho ∆ABC nhọn (AB < AC). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại D. BD cắt CE tại H.

a) Cm BD và CE là 2 đường cao của ∆ABC. Suy ra AH vuông góc BC tại F.

b) Cm ∆ADE ∽ ∆ABC. Từ đó suy ra AD × AC = AE × AB.

c) Cm FH là phân giác góc FDE.

Đầu năm học, Hội khuyến học của 1 tỉnh tặng cho trường A tổng số 245 quyển sách gồm sách Toán và sách Ngữ Văn. Nhà trường đã dùng \(\dfrac{1}{2}\) số sách Toán và \(\dfrac{2}{3}\) số sách Ngữ Văn đó để phát cho các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Biết rằng mỗi bạn đều nhận được cả 2 loại sách. Hỏi Hội khuyến học tỉnh đã tặng cho trường A mỗi loại sách bao nhiêu quyển?

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 1h30p thì bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ 2 là 2h. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Cho nửa (O), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa (O). M là 1 điểm của cung AB (M khác A và B). C là điểm của đoạn OA (C khác O và A). Đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với MC cắt Ax tại P. Đường thẳng qua điểm C vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm CP và AM, E là giao điểm của CQ và BM.

a) Cm tứ giác ACMP và CEMD nội tiếp trong 1 đường tròn.

b) Cm DE vuông góc Ax.

c) Cm P, M, Q thẳng hàng.

Cho (O; R). Từ 1 điểm M ngoài (O; R) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm). Lấy 1 điểm C trên cung nhỏ AB (C khác A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM.

a) Cm AECD là tứ giác nội tiếp. 

b) Cm góc CDE = góc CBA.

c) Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Cm IK // AB.

d) Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC² + CB²) nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R.

Một mảnh đất HCN có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh đất HCN.