Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Cho hai hàm số \(f\left(x\right)=ax^3+bx^3+cx-\dfrac{1}{2}\) và \(g\left(x\right)=dx^2+ex+1\left(a,b,c,d,e\in\mathbb{R}\right).\) Biết rằng đồ thị của hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=g\left(x\right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \(-3;-1;1\) như hình vẽ dưới đây

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

1. \(8\).
2. \(4\).
3. \(\dfrac{9}{2}\).
4. \(5\).

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{x^2+1}\), trục Ox và các đường thẳng \(x=0\) và \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\)quanh trục hoành có thể tích bằng

1. \(2\).
2. \(\dfrac{4}{3}\).
3. \(\dfrac{4\pi}{3}\).
4. \(2\pi\).

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2\left(x-1\right)e^x\), trục tung và trục hoành. Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quang trục Ox bằng

1. \(4-2e\).
2. \(\left(4-2e\right)\pi\).
3. \(e^2-5\).
4. \(\left(e^2-5\right)\pi\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3-x\) và đồ thị hàm số \(y=x-x^2\) bằng

1. \(\dfrac{37}{12}\).
2. \(\dfrac{9}{4}\).
3. \(\dfrac{81}{12}\).
4. 13.

Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục \(Ox\) hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{\tan x};y=0;x=0;x=\dfrac{\pi}{4}\) là

1. \(\dfrac{\pi}{4}\).
2. \(\dfrac{\pi^2}{4}\).
3. \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{4}\).
4. \(\dfrac{\pi\ln2}{2}\).

Thể tích \(V\) của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục \(Ox\)  hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt[3]{x};y=0;x=1;x=8\) bằng

1. \(V=\pi^2\).
2. \(V=\pi^2\).
3. \(V=18,6\).
4. \(V=\dfrac{93\pi}{5}\).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

1. Hình cầu bán kính \(R\) là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường \(y=\sqrt{R^2-x^2};\left(-R\le x\le R\right)\) và đường thẳng \(y=0\) xung quanh trục \(Ox\).
2.  Hình cầu bán kính \(R\) có thể tích \(V=\pi\int\limits^R_{-R}\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2\text{d}x\).
3.  Hình cầu bán kính \(R\) có thể tích \(V=\pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)|^R_{-R}\).
4. Hình cầu bán kính \(R\) có thể tích \(V=\pi\int\limits^R_{-R}\sqrt{R^2-x^2}\text{d}x\).

Gọi \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=2x^2+3x+1\) và parabol \(y=x^2-x-2\). Giá trị của \(\cos\left(\frac{\pi}{S}\right)\)bằng

1. \(0\).
2. \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
3. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
4. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

  Quay hình phẳng giới hạn bởi  \(y=\cos x\) ; \(y=0\) ; \(x=0\) ; \(x=\pi\) quanh trục \(Ox\) ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng

1. \(\pi^2\).
2. \(\dfrac{\pi^2}{2}\).
3. \(\dfrac{\pi^2}{3}\).
4. \(\dfrac{2\pi^2}{3}\).

Gọi \(H\) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị \(y=e^{2x};y=0;x=0;x=2\). Khối tròn xoay tạo thành khi cho \(H\) quay quanh trục \(Ox\) có thể tích bằng

1. \(\frac{\pi}{2}\left(e^8-1\right)\).
2. \(\frac{\pi}{4}\left(e^8-1\right)\).
3. \(\frac{\pi}{6}\left(e^8-1\right)\).
4. \(\frac{\pi}{9}\left(e^8-1\right)\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol \(y=\dfrac{x^2}{4}\) và \(y=-\dfrac{x^2}{2}+3x\)  bằng

1. \(4\).
2. \(8\).
3. \(12\).
4. \(16\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y=x+\sin x\) và \(y=x\) (\(0\le x\le2\pi\) ) bằng

1. \(2\).
2. \(4\).
3. \(0\).
4. \(1\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y=x^3\) và \(y=x^5\) bằng

1. \(0\).
2. \(-4\).
3. \(\dfrac{1}{6}\).
4. \(2\).

Công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung quanh trục Ox là

1. \(\pi\int\limits^b_af^2\left(x\right)\text{d}x\).
2. \(\int\limits^b_af^2\left(x\right)\text{d}x\).
3. \(\pi\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
4. \(\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\).

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0,x=\dfrac{\pi}{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích bằng 

1. \(\pi-1\).
2. \(\pi\left(\pi-1\right)\).
3. \(\pi\left(\pi+1\right)\).
4. \(\pi+1\).

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=\cos x;y=\sin x\) và hai đường thẳng \(x=0;x=\frac{\pi}{2}\) là

1. \(S=2\left(\sqrt{2}-1\right)\).
2. \(S=2\left(1-\sqrt{2}\right)\).
3. \(S=2\sqrt{2}\).
4. \(S=2\sqrt{2}-1\).

Kí hiệu \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=-1,x=2\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(S=\int\limits^2_{-1}x^3\text{d}x\).
2. \(S=-\int\limits^0_{-1}x^3\text{d}x+\int\limits^2_0x^3\text{d}x\).
3. \(S=\left|\int\limits^2_{-1}x^3\text{d}x\right|\).
4. \(S=\int\limits^0_{-1}x^3\text{d}x+\int\limits^2_0x^3\text{d}x\).

Kí hiệu \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) như trong hình vẽ dưới đây.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(S=\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
2. \(S=-\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\).
3. \(S=\int\limits^b_a\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x\).
4. \(S=\left|\int\limits^b_af\left(x\right)\text{d}x\right|\).

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường  \(y=\left(x-6\right)^2\) và \(y=6x-x^2\) bằng

1. \(8\).
2. \(9\).
3. \(10\).
4. \(11\).

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^2\) và \(y=x+2\) bằng

1. \(5\).
2. \(\dfrac{9}{2}\).
3. \(4\).
4. \(\dfrac{7}{2}\).