Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2\left(x-1\right)e^x\), trục tung và trục hoành. Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quang trục Ox bằng
\(4-2e\).\(\left(4-2e\right)\pi\).\(e^2-5\).\(\left(e^2-5\right)\pi\).Hướng dẫn giải:Ta có \(2\left(x-1\right)e^x=0\Leftrightarrow x=1\)
⇒ Hàm số \(y=2\left(x-1\right)e^x\) cắt trục hoành tại điểm x = 1.
Trục tung là đường thẳng x = 0.
⇒ Thể tích V bằng:
\(V=\pi\int\limits^1_0\left(2\left(x-1\right)e^x\right)^2\text{d}x\)
\(V=4\pi\left(\int\limits^1_0x^2e^{2x}\text{d}x-2\int\limits^1_0xe^{2x}\text{d}x+\int\limits^1_0e^{2x}\text{d}x\right)\)
Ta tính:
\(\int e^{2x}\text{d}x=\frac{1}{2}\int e^{2x}d\left(2x\right)=\frac{1}{2}e^{2x}\)
\(\int xe^{2x}\text{d}x=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{2}\int e^{2x}\) (Đăth \(u=x;v'=e^{2x}\) => \(u'=1;v=\frac{1}{2}e^{2x}\))
\(=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}\)
\(\int x^2e^{2x}\text{d}x=\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\int xe^{2x}\text{d}x\) (Đăth \(u=x^2;v'=e^{2x}\) => \(u'=x;v=\frac{1}{2}e^{2x}\))
\(=\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}\)
Thay vào ta tính V như sau:
\(V=4\pi\left[\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}-xe^{2x}+\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}e^{2x}\right]|^1_0\)
\(V=4\pi\left(\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{3}{2}xe^{2x}+\frac{5}{4}e^{2x}\right)|^1_0\)
\(V=4\pi\left(\frac{1}{2}e^2-\frac{3}{2}e^2+\frac{5}{4}e^2\right)-4\pi\left(\frac{5}{4}e^0\right)\)
\(V=\pi\left(e^2-5\right)\).