Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^3-x\) và đồ thị hàm số \(y=x-x^2\) bằng
\(\dfrac{37}{12}\).\(\dfrac{9}{4}\).\(\dfrac{81}{12}\).13.Hướng dẫn giải:Đặt \(f\left(x\right)=x^3-x\) và \(g\left(x\right)=x-x^2\)
Ta có :
\(f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^3-x-x+x^2\)
\(=x\left(x^2+x-2\right)\)
\(=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)
Lập bảng xét dấu \(f\left(x\right)-g\left(x\right)\) ta có:
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ \(-2;0;1\) và trên\(\left[-2;0\right]\) thì \(f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\), trên \(\left[0;1\right]\) \(f\left(x\right)\le g\left(x\right)\).
Diện tích cần tính là là:
\(\int\limits^1_{-2}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx=\int\limits^0_{-2}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx+\int\limits^1_0\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx\)
\(=\int\limits^0_{-2}\left(x^3+x^2-2x\right)dx+\int\limits^1_0\left(-x^3-x^2+2x\right)dx\)
\(=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-\frac{2x^2}{2}\right)|^0_{-2}+\left(-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}\right)|^1_0\)
\(=-\frac{\left(-2\right)^4}{4}-\frac{\left(-2\right)^3}{3}+\left(-2\right)^2-\frac{1^4}{4}-\frac{1^3}{3}+1^2\)
\(=\frac{37}{12}\).