Bài 1: Nguyên hàm

Hướng dẫn giải

Gọi S = S(t) là quãng đường rơi được của hòn đá tại thời điểm t (S(t) tính theo m, t tính theo giây).

Suy ra S'(t) = v(t), do đó S(t) là một nguyên hàm của v(t).

Ta có \(\int {v(t)dt} = \int {9,8dt} = 4,9{t^2} + C\). Suy ra \(S(t) = 4,9{t^2} + C\).

Hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng tức là tại thời điểm t = 0 thì S = 0.

Ta có \(S(0) = 4,{9.0^2} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).

Vậy công thức tính quãng đường rơi được S(t) của hòn đá tại thời điểm t là \(S(t) = 4,9{t^2}\).

Khi hòn đá chạm đất thì \(S(t) = 150 \Leftrightarrow 4,9{t^2} = 150 \Leftrightarrow t = \pm \frac{{10\sqrt {15} }}{7}\).

Mà t > 0 nên \(t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7}\).

Vậy sau \(t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7} \approx 5,53\) giây thì hòn đá chạm đến mặt đất.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(F'(x) = 3{x^2}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Hàm số F(x) = cotx là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) vì \((\cot x)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(F'(x) = {x^3} - 1 = 3{x^2}\).

\(G'(x) = {x^3} + 5 = 3{x^2}\).

Vậy cả hai hàm số F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số\(f(x) = 3{x^2}\) trên \(\mathbb{R}\).

b) F(x) - G(x) = -6 là một hằng số C.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên \(\mathbb{R}\).

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx đều có dạng sinx + C, với C là một hằng số.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Do \(\left( {\frac{k}{3}{x^3}} \right)' = k{x^2}\) nên \(\frac{k}{3}{x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = k{x^2}\) với trên \(\mathbb{R}\).

Vậy \(\int {k{x^2}dx} = \frac{k}{3}{x^2} + C\) \((k \ne 0)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(F’(x) = f(x) \Rightarrow kF’(x) = kf(x)\).

Vậy kF(x) là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Ta có: \(G(x) = kH(x) \Rightarrow G’(x) = kH’(x)\).

Lại có: \(G’(x) = kf(x) \Leftrightarrow kH’(x) = kf(x) \Leftrightarrow H’(x) = f(x)\).

Vậy H(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

c) \(\int {kf(x)dx} = kF(x) + a\).

\(k\int {f(x)dx} = k(F(x) + b) = kF(x) + kb\).

Vậy \(\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx} = kF(x) + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Do \(\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)' = {x^n}\) nên \(\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^n}\) trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{n^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Vậy \(\int {(n + 1){x^n}dx} = (n + 1).\int {{x^n}dx} = (n + 1).\frac{{{n^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C = {n^{n + 1}} + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) nên F(x) + G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) \(G(x) = H(x) – F(x)\)

\(\Rightarrow G’(x) = H’(x) – F’(x) = f’(x) + g’(x) – f’(x) =g(x)\).

Vậy G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

c) \(\int {[f(x) + g(x)]dx} = H(x) + C\).

\(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} = F(x) + a + G(x) + b = H(x) + C\).

Vậy \(\int {[f(x) + g(x)]dx} = \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {(2{x^2} - 3x + 5)dx} = \int {2{x^2}dx} - \int {3xdx} + \int {5dx} \)

\(= \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 5x + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)