Bài 1: Nguyên hàm

Hướng dẫn giải

Do \(\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)' = {x^n}\) nên \(\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^n}\) trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \(\int {{x^n}dx} = \frac{{{n^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Vậy \(\int {(n + 1){x^n}dx} = (n + 1).\int {{x^n}dx} = (n + 1).\frac{{{n^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C = {n^{n + 1}} + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(F’(x) = f(x) \Rightarrow kF’(x) = kf(x)\).

Vậy kF(x) là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Ta có: \(G(x) = kH(x) \Rightarrow G’(x) = kH’(x)\).

Lại có: \(G’(x) = kf(x) \Leftrightarrow kH’(x) = kf(x) \Leftrightarrow H’(x) = f(x)\).

Vậy H(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K.

c) \(\int {kf(x)dx} = kF(x) + a\).

\(k\int {f(x)dx} = k(F(x) + b) = kF(x) + kb\).

Vậy \(\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx} = kF(x) + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {f(x)} dx = \int {(3{x^2} + x} )dx = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\)

b) \(\int {f(x)} dx = \int {(9{x^2} - 2x + 7} )dx = 3{x^3} - {x^2} + 7x + C\)

c)\(\int {f(x)} dx = \int {(4x - 3)({x^2} + 3)dx} \)

\(= \int {(4{x^3} - 3{x^2} + 12x - 9} ) dx\)

\(= {x^4} - {x^3} + 6{x^2} - 9x + C\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) nên F(x) + G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) \(G(x) = H(x) – F(x)\)

\(\Rightarrow G’(x) = H’(x) – F’(x) = f’(x) + g’(x) – f’(x) =g(x)\).

Vậy G(x) là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

c) \(\int {[f(x) + g(x)]dx} = H(x) + C\).

\(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} = F(x) + a + G(x) + b = H(x) + C\).

Vậy \(\int {[f(x) + g(x)]dx} = \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(F'(x) = 3{x^2}\)

Vậy F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2}\)

Chọn A

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {f(x)} dx = \int {\left( {6{x^5} + 2x - 3} \right)} dx = {x^6} + {x^2} - 3x + C\)

F(-1) = -5 <=> \({( - 1)^6} + {( - 1)^2} - 3.( - 1) + C = - 5 \Rightarrow C = - 10\)

Vậy F(x) = \({x^6} + {x^2} - 3x - 10\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {h'(t)} dt = \int {\left( {1,5t + 5} \right)} dt = 0,75{t^2} + 5t + C\)

Vậy công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm là: \(0,75{t^2} + 5t + C\)

b) Đặt \(H(t) = 0,75{t^2} + 5t + C\)

Tại t = 0 thì H(0) = 12 suy ra C = 12

Khi được bán, tức là sau 6 năm thì cây cao: \(H(6) = 0,{75.6^2} + 5.6 + 12 = 69cm\)

Từ bảng biển thiên ta thấy, B(t) max tại t = 15

Vậy số lượng khách tham dự lớn nhất là: 28220 khách

d) \(B''(t) = 60{t^2} - 600t + 1000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{15 - 5\sqrt 3 }}{3}\\t = \frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biển thiên ta thấy, B’(t) max tại t = 15

Vậy tại thời điểm t = 15 giờ thì tốc độ thay đổi lượng khách tham gia dự lễ hội là lớn nhất

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {m(t)} dt = \int {\left( {800 - 2t} \right)} dt = 800t - {t^2} + C\)

Tại t = 0 thì \(M(t) = 0 \Leftrightarrow C = 0\)

Vậy \(M(t) = 800t - {t^2}\)

Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là: \(M(400) = 800.400 - {400^2} = 160000\)(ngày)

Chi phí nhân công lao động của công trình đó là: 160000.400000 = 64 tỷ VND

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {h'(t)} dt = \int {\left( {1,5t + 5} \right)} dt = 0,75{t^2} + 5t + C\)

Vậy công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm là: \(0,75{t^2} + 5t + C\)

b) Đặt \(H(t) = 0,75{t^2} + 5t + C\)

Tại t = 0 thì H(0) = 12 suy ra C = 12

Khi được bán, tức là sau 6 năm thì cây cao: \(H(6) = 0,{75.6^2} + 5.6 + 12 = 69cm\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {(2{x^2} - 3x + 5)dx} = \int {2{x^2}dx} - \int {3xdx} + \int {5dx} \)

\(= \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 5x + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)