Hàm số F(x) = x3 + 5 là nguyên hàm của hàm số:
A. \(f\left(x\right)=3x^2.\) B. \(f\left(x\right)=\dfrac{x^4}{4}+5x+C\)
C. \(f\left(x\right)=\dfrac{x^4}{4}+5x.\) D. \(f\left(x\right)=3x^2+5x\).
Bài 1: Nguyên hàm
Bài tập 1 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 7)
Thảo luận (1)
Bài tập 2 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 7)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = 3x2 + x; b) f(x) = 9x2 – 2x + 7; c) f(x) = (4x – 3)(x2 + 3).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int {f(x)} dx = \int {(3{x^2} + x} )dx = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
b) \(\int {f(x)} dx = \int {(9{x^2} - 2x + 7} )dx = 3{x^3} - {x^2} + 7x + C\)
c)\(\int {f(x)} dx = \int {(4x - 3)({x^2} + 3)dx} \)
\(= \int {(4{x^3} - 3{x^2} + 12x - 9} ) dx\)
\(= {x^4} - {x^3} + 6{x^2} - 9x + C\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 7)
Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x5 + 2x – 3, biết F(– 1) = – 5.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int {f(x)} dx = \int {\left( {6{x^5} + 2x - 3} \right)} dx = {x^6} + {x^2} - 3x + C\)
F(-1) = -5 <=> \({( - 1)^6} + {( - 1)^2} - 3.( - 1) + C = - 5 \Rightarrow C = - 10\)
Vậy F(x) = \({x^6} + {x^2} - 3x - 10\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 8)
Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h(t) 1,5t + 5, trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây sau t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Biết rằng, cây con khi được trồng cao 12 cm.a) Viết công thức tính chiều cao của cây sau t năm.b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?
Đọc tiếp
Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h'(t) = 1,5t + 5, trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây sau t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Biết rằng, cây con khi được trồng cao 12 cm.
a) Viết công thức tính chiều cao của cây sau t năm.
b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int {h'(t)} dt = \int {\left( {1,5t + 5} \right)} dt = 0,75{t^2} + 5t + C\)
Vậy công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm là: \(0,75{t^2} + 5t + C\)
b) Đặt \(H(t) = 0,75{t^2} + 5t + C\)
Tại t = 0 thì H(0) = 12 suy ra C = 12
Khi được bán, tức là sau 6 năm thì cây cao: \(H(6) = 0,{75.6^2} + 5.6 + 12 = 69cm\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 5 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 8)
Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số B(t) 20t3 – 300t2 + 1 000t,trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 15), B(t) tính bằng khách/giờ. (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.a) Viết công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0 ≤ t ≤ 15.b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?c) Số lượng khách tham dự lễ...
Đọc tiếp
Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số
B'(t) = 20t3 – 300t2 + 1 000t,
trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 15), B'(t) tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
a) Viết công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0 ≤ t ≤ 15.
b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int {h'(t)} dt = \int {\left( {1,5t + 5} \right)} dt = 0,75{t^2} + 5t + C\)
Vậy công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm là: \(0,75{t^2} + 5t + C\)
b) Đặt \(H(t) = 0,75{t^2} + 5t + C\)
Tại t = 0 thì H(0) = 12 suy ra C = 12
Khi được bán, tức là sau 6 năm thì cây cao: \(H(6) = 0,{75.6^2} + 5.6 + 12 = 69cm\)
Từ bảng biển thiên ta thấy, B(t) max tại t = 15Vậy số lượng khách tham dự lớn nhất là: 28220 khách
d) \(B''(t) = 60{t^2} - 600t + 1000 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{15 - 5\sqrt 3 }}{3}\\t = \frac{{15 + 5\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biển thiên ta thấy, B’(t) max tại t = 15
Vậy tại thời điểm t = 15 giờ thì tốc độ thay đổi lượng khách tham gia dự lễ hội là lớn nhất
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài tập 6 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 8)
Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi m(t) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi M(t) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M(t) m(t).Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số m(t) 800 – 2t,trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 400), m(t) tính...
Đọc tiếp
Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi m(t) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi M(t) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M'(t) = m(t).
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số
m(t) = 800 – 2t,
trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 400), m(t) tính theo người.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)
Đơn giá cho một ngày công lao động là 400 000 đồng.
Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int {m(t)} dt = \int {\left( {800 - 2t} \right)} dt = 800t - {t^2} + C\)
Tại t = 0 thì \(M(t) = 0 \Leftrightarrow C = 0\)
Vậy \(M(t) = 800t - {t^2}\)
Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là: \(M(400) = 800.400 - {400^2} = 160000\)(ngày)
Chi phí nhân công lao động của công trình đó là: 160000.400000 = 64 tỷ VND
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)