Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Hướng dẫn giải

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: s = s(t).

Suy ra s’(t) = v(t), do đó s(t) là một nguyên hàm của v(t). Ta có:

\(\int {v(t)dt} = \int {4\cos tdt} = 4\int {\cos tdt} = 4\sin t + C\).

Suy ra s(t) = 4sint + C.

Tại thời điểm t = 0, ta có s(0) = 0, tức là 4sin0 + C = 0, suy ra C = 0.

Vậy phương trình chuyển động của con lắc là: s(t) = 4sint + C.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(F'(x) = ( \frac{1}{2}{x^2} )' = x\) nên \(F(x) = \frac{1}{2}{x^2}\) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {({x^4} - 5{x^2} + 1)dx} = \int {{x^4}dx} - 5\int {{x^2}} + \int {1dx} = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{5{x^3}}}{3} + x + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {{x^{\frac{3}{5}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{3}{5} + 1}}}}{{\frac{3}{5} + 1}} + C = \frac{5}{8}{x^{\frac{8}{5}}} + C\).

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3}}}}}dx} = \int {\frac{1}{{{x^{\frac{3}{4}}}}}dx} = \int {{x^{ - \frac{3}{4}}}dx} = \frac{{{x^{ - \frac{3}{4} + 1}}}}{{^{ - \frac{3}{4} + 1}}} + C = 4{x^{\frac{1}{4}}} + C = 4\sqrt[4]{x} + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

b) \(y' = (\ln ( - x))' = \frac{{ - 1}}{{ - x}} = \frac{1}{x}\) trên khoảng \(( - \infty ;0)\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {\frac{4}{{9x}}dx} = \frac{4}{9}\int {\frac{1}{x}dx} = \frac{4}{9}\ln \left| x \right| + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(y' = \sin x\) nên \(y = - \cos x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \sin x\).

b) \(y' = \sin x\) nên \(y = \sin x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \cos x\).

c) Với \(x \notin k\pi (k \in \mathbb{Z})\), \(y' = \left( { - \cot x} \right)' = {\left( { - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right)'} \)

\(= - \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

Do đó \(y = - \cot x\) là nguyên hàm của hàm số \(\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}\).

d) Với \(x \notin \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\), \(y' = \left( {\tan x} \right)' = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)'}\)

\(= \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

Do đó \(y = \tan x\) là nguyên hàm của hàm số \(\frac{1}{{{{\cos }^2}(x)}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {8\sin xdx} = 8\int {\sin xdx} = 8( - \cos x) + C = - 8\cos x + C\).

b) \(\int {(2\sin x - 5\cos x)dx} = 2\int {\sin xdx} - 5\int {\cos xdx} \)

\( = 2( - \cos x) - 5\sin x + C = - 2\cos x - 5\sin x + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {(1 + {{\cot }^2}x)dx} = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\).

b) \(\int {\frac{1}{{1 + \cos 2x}}dx} = \int {\frac{1}{{1 + (2{{\cos }^2}x - 1)}}dx} = \int {\frac{1}{{2{{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \frac{1}{2}\tan x + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(F'(x) = \frac{{{a^x}.\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).

Một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {a^x}\) là \(F(x) = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)