a) Hàm số y = – cos x có là nguyên hàm của hàm số y = sin x hay không?
b) Hàm số y = sin x có là nguyên hàm của hàm số y = cos x hay không?
c) Với x ≠ kπ (k ∈ ℤ), hàm số y = – cot x có là nguyên hàm của hàm số \(y=\dfrac{1}{\sin^2x}\) hay không?
d) Với \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) (k ∈ ℤ), hàm số y = tan x có là nguyên hàm của hàm số \(y=\dfrac{1}{\cos^2x}\) hay không?
a) \(y' = \sin x\) nên \(y = - \cos x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \sin x\).
b) \(y' = \sin x\) nên \(y = \sin x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \cos x\).
c) Với \(x \notin k\pi (k \in \mathbb{Z})\), \(y' = \left( { - \cot x} \right)' = {\left( { - \frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right)'} \)
\(= - \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
Do đó \(y = - \cot x\) là nguyên hàm của hàm số \(\frac{1}{{{{\sin }^2}(x)}}\).
d) Với \(x \notin \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\), \(y' = \left( {\tan x} \right)' = {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)'}\)
\(= \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
Do đó \(y = \tan x\) là nguyên hàm của hàm số \(\frac{1}{{{{\cos }^2}(x)}}\).