Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Hướng dẫn giải

a) \(\int {{4^{x + 2}}dx} = \int {{4^x}{{.4}^2}dx} = 16\int {{4^x}dx} = 16.\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C = \frac{{{4^{x + 2}}}}{{\ln 4}} + C\).

b) \(\int {({5^{x + 2}} - {e^{x + 1}})dx} = \int {({5^x}{{.5}^2} - {e^x}.e)dx} = 25\int {{5^x}dx} - e\int {{e^x}dx} \)

\(= 25\frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} - e\frac{{{e^x}}}{{\ln e}} + C = \frac{{{5^{x + 2}}}}{{\ln 5}} - {e^{x + 1}} + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(F'(x) = \frac{{{a^x}.\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).

Một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {a^x}\) là \(F(x) = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {(2\sin x - 3\cos x)dx} = - 2\cos x - 3\sin x + C\)

Chọn D

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {\frac{{3x}}{{\sqrt x }}dx} = 3\int {\sqrt x dx} = 3\int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = 3\int {\frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{^{\frac{1}{2} + 1}}}dx} = 3\frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{^{\frac{1}{2} + 1}}} + C = 2{x^{\frac{3}{2}}} + C = 2x\sqrt x + C\).

Chọn D

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {\left( {7{x^6} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)} dx = {x^7} - {x^4} + {x^3} + C\)

b) \(\int {\frac{{21}}{{8x}}} dx = \frac{{21}}{8}\ln x + C\)

c) \(\int {\frac{1}{{{x^4}}}} dx = - \frac{1}{{3{x^3}}} + C\)

d) \(\int {\frac{1}{{x\sqrt x }}} dx = \int {{x^{\frac{{ - 3}}{2}}}} dx = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C = \frac{{ - 2}}{{\sqrt x }} + C\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(h(t) = \int {v(t)dt = } \int {\left( { - 0,1{t^3} + {t^2}} \right)} dt = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + C\)\((t \ge 0)\)

\(h(0) = - 0,{025.0^4} + \frac{{{0^3}}}{3} + C = 5 \Rightarrow C = 5\)

Vậy \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5\)

b) Xét hàm số \(h(t) = - 0,025{t^4} + \frac{{{t^3}}}{3} + 5\)

\(h'(t) = v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(nghiem\;kep)\\x = 10\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.

c) Từ bảng biến thiên ta thấy, chiều cao tối đa của cây cà chua đó là \(\frac{{265}}{3}\) cm.

d) Xét \(v(t) = - 0,1{t^3} + {t^2}\)

\(v'(t) = - 0,3{t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{{20}}{3}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy tốc độ tăng trưởng lớn nhất khi \(t = \frac{{20}}{3}\). Khi đó chiều cao của cây là \(h\left( {\frac{{20}}{3}} \right) = - 0,025{\left( {\frac{{20}}{3}} \right)^4} + \frac{1}{3}{\left( {\frac{{20}}{3}} \right)^3} + 5 = \frac{{4405}}{{81}} \approx 54,38\) (cm).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {P'(t)} dt = \int {k\sqrt t dt} = \frac{2}{3}k\sqrt {{t^3}} + C = P(t)\)

\(P(0) = \frac{2}{3}k\sqrt {{0^3}} + C = 500 \Rightarrow C = 500\)

\(P(1) = \frac{2}{3}k\sqrt {{1^3}} + 500 = 600 \Rightarrow k = 150\)

Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó được biểu diễn bởi hàm số \(P(t) = 100\sqrt {{t^3}} + 500\)

Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là: \(P(7) = 100\sqrt {{7^3}} + 500 = 2352\) (con)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(\int {\left( {5\sin x + 6\cos x} \right)dx} = - 5\cos x + 6\sin x + C\).

b) \(\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = x - \cot x + C\).

c) \(\int {{2^{3x}}dx} = \int {{{\left( {{2^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {{2^3}} \right)}^x}}}{{\ln {2^3}}} + C = \frac{{{2^{3x}}}}{{3\ln 2}} + C\).

d) \(\int {\left( {{{2.3}^{2x}} - {e^{x + 1}}} \right)dx} = 2\int {{3^{2x}}dx} - e\int {{e^x}dx} = 2.\frac{{{3^{2x}}}}{{2\ln 3}} - e.{e^x} + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} - {e^{x + 1}} + C\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

\(\int {{7^x}dx} = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C\)

Chọn C

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)