Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5\le0\\x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\le0\end{matrix}\right.\) có nghiệm.
\(0\le a\le2\).\(0\le a\le4\).\(2\le a\le4\).\(0\le a\le8\).Hướng dẫn giải:Ta thấy trong 4 phương án trả lời, đáp số \(0\le a\le8\) "lớn nhất", chọn \(a=5\) thuộc đáp số này mà không thuộc các đáp số còn lại để thử thì thấy: khi \(a=5\) hệ đã cho là \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5\le0\\x^2-12x+26\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left[1;5\right]\\x\in\left[6-\sqrt{10};6+\sqrt{10}\right]\end{matrix}\right.\) , rõ ràng \(x=5\) là một nghiệm của hệ, Vì vậy các đáp số \(0\le a\le2\) ; \(0\le a\le4\) ; \(2\le a\le4\) đều sai vì đều "thiếu" giá trị \(a=5\) làm hệ đã cho có nghiệm.
Vậy đáp số đúng phải là \(0\le a\le8\).
Chú ý: có thể tìm đáp số đúng của bài toán như sau (học sinh không cần làm thế này trong phòng thi):
Bất phương trình thứ nhất của hệ có tập nghiệm là \(N_1\left[1;5\right]\). Tam thức bậc hai \(f\left(x\right)=x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\) có biệt số
\(\Delta'=2a\). Nếu \(\Delta'< 0\) thì \(f\left(x\right)>,\forall x\), bất phương trình thứ hai vô nghiệm, hệ cũng vô nghiệm.
Nếu \(\Delta'\ge0\) (hay \(a\ge0\)) thì bất \(f\left(x\right)\) có hai nghiệm \(x_1=\left(a+1\right)-\sqrt{2a};x_2=\left(a+1\right)+\sqrt{2a}\), bất phương trình thứ hai có tập nghiệm là \(N_2=\left[x_1;x_2\right]\). Hệ sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi đoạn \(\left[1;5\right]\) nằm hoàn toàn ngoài đoạn \(\left[x_1;x_2\right]\) , điều này chỉ xảy ra khi \(x_1>5\) hoặc \(x_2< 1\). Tuy nhiên, với \(a\ge0\) thì \(x_2=a+1+\sqrt{2a}\ge1\) nên hệ chỉ vô nghiệm khi
\(x_1>5\Leftrightarrow a+1-\sqrt{2a}>5\Leftrightarrow a-4>\sqrt{2a}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a-4>0\\a^2-8a+16>2a\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a>4\\a^2-10a+16>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a>8\).
Tổng hợp các kết quả, ta thấy hệ đã cho sẽ vô nghiệm khi và chỉ khi \(a< 0\) hoặc \(a>8\). Vì thế, các giá trị của a làm cho hệ có nghiệm là \(0\le a\le8\).