Nhận xét nào sau đây đúng về nghiệm của bất phương trình \(\log_{\frac{1}{5}}\left(3x-5\right)>\log_{\frac{1}{5}}\left(x+1\right)\)?
\(x< 3\).\(\dfrac{5}{3}< x< 3\).\(x>3\).Bất phương trình vô nghiệm.Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Tính giá trị biểu thức hiệu hai vế bất phương trình tại \(x=0\) máy báo lỗi, tính tại \(x=4\) ta thấy bất phương trình không được nghiện đúng; tính tại \(x=2\) bất phương trình nghiệm đúng. Từ đó suy ra đáp số đúng là \(\dfrac{5}{3}< x< 3\).
Cách 2 (biến đổi tương đương): Điều kiện:
\(\begin{cases}3x-5>0\\x+1>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x>\dfrac{5}{3}\) (*)
Khi đó biến đổi bất phương trình đã cho như sau:
\(\log_{\frac{1}{5}}\left(3x-5\right)>\log_{\frac{1}{5}}\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow3x-5< x+1\) (do cơ số \(\dfrac{1}{5}< 1\), bất đẳng thức đổi chiều)
\(\Leftrightarrow x< 3\).
Kết hợp với điều kiện (*) ta suy ra nghiệm phương trình là:\(\dfrac{5}{3}< x< 3\).