§1. Lũy thừa

1. Các định nghĩa.

• Lũy thừa với số mũ nguyên dương : \(a^n=a.a.a...a\) (n thừa số a) (a ∈ R, n ∈ N ∗ ).

• Lũy thừa với số mũ 0 : \(a^0=1,\left(a\ne0\right)\)

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm : \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)(a\(\ne\) 0, n ∈ N ∗ ).

• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ : \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\) (a > 0; m, n ∈ Z; n \(\ge\) 2).

• Lũy thừa với số mũ thực : \(a^{\alpha}=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a^{r_n}\); \(\left(a>0;\left(r_n\right)\subset Q;\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}r_n=\alpha\right)\)

2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

Cho hai số thực a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có

\(a^{\alpha}.a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}\) .

\(\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha.\beta}\) .

\(\left(ab\right)^{\alpha}=a^{\alpha}b^{\alpha}\).

\(\frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}\).

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha}=\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}\).

• Nếu a > 1 thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\) \(\Leftrightarrow\alpha>\beta\)

• Nếu 0 < a < 1 thì \(a^{\alpha}>a^{\beta}\Leftrightarrow\alpha<\beta\).

• Nếu α > 0 thì 0 < a < b ⇔ \(a^{\alpha}\)<\(b^{\alpha}\)

• Nếu α < 0 thì 0 < a < b ⇔\(a^{\alpha}\) > \(b^{\alpha}\) 

3. Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Tính giá trị biểu thức sau :

\(A=4^{\frac{3}{2}}+8^{\frac{2}{3}}\)

Bài giải :

\(A=4^{\frac{3}{2}}+8^{\frac{2}{3}}=\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}}+\left(2^3\right)^{\frac{2}{3}}=2^3+2^2=12\)

Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức

\(A=\frac{\sqrt[5]{81}.\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{9}.\sqrt{12}}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\right)^3.\sqrt{18}.\sqrt[5]{27}.\sqrt{6}}\)

Bài giải : 

\(A=\frac{\sqrt[5]{81}.\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{9}.\sqrt{12}}{\left(\sqrt[5]{\sqrt{3}}\right)^3.\sqrt{18}.\sqrt[5]{27}.\sqrt{6}}=\frac{3^{\frac{4}{5}}.3^{\frac{1}{5}}.3^{\frac{2}{5}}.2.3^{\frac{1}{2}}}{\left(3^{\frac{1}{10}}\right)^3.3.2^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{3}{5}}.2^{\frac{1}{2}}.3^{\frac{1}{2}}}=\frac{3^{\frac{2}{5}}}{3^{\frac{9}{10}}}=3^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Ví dụ 3 : Đơn giản biểu thức sau :

\(B=\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{a}}\)

Bài giải :

\(B=\sqrt[3]{a^2\sqrt[4]{a}}=\left(a^2.a^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\left(a^{\frac{9}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\)

4. Tài liệu tham khảo

Hàm số mũ và hàm số logarit có lời giải

 

Các khóa học nổi bật: Xem tại đây!

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Loading...
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...