Bài 5: Phép quay

I. ĐỊNH NGHĨA

Cho điểm \(O\) và góc lượng giác \(\alpha\). Phép biến hình biến \(O\) thành chính nó, biễn mỗi điểm \(M\) khác \(O\) thành điểm \(M'\) sao cho \(OM'=OM\) và góc lượng giác \(\left(OM;OM'\right)\) bằng \(\alpha\) được gọi là phép quay tâm \(O\) góc \(\alpha\).

Điểm \(O\) được gọi là tâm quay còn \(\alpha\) được gọi là góc quay của phép quay đó.

Kí hiệu: Phép quay tâm \(O\) góc \(\alpha\) được kí hiệu là \(Q_{\left(O,\alpha\right)}\).

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, các điểm \(O,A',B'\) tương ứng là ảnh của các điểm \(O,A,B\) qua phép quay tâm \(O\), góc quay \(-\dfrac{\pi}{2}\):

Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

2) Với \(k\) là số nguyên ta luôn có:

     Phép quay \(Q_{\left(O;2k\pi\right)}\) là phép đồng nhất.

     Phép quay \(Q_{\left(O;\left(2k+1\right)\pi\right)}\) là phép đối xứng tâm \(O\).

Ví dụ: Một chiếc đồng hồ từ lúc 12 giờ đến lúc 15 giờ thì kim giờ đã quay một góc \(-\dfrac{\pi}{2}\) , kim phút đã quay một góc \(-\pi\).

Ví dụ 1: Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\).

     a) Tìm ảnh của điểm \(C\) qua phép quay tâm \(A\) góc \(90^0\) ;

     b) Tìm ảnh của đường thẳng \(BC\) qua phép quay tâm \(O\) góc \(90^0\).

Giải:

a) Gọi \(C'\) là điểm đối xứng của \(C\) qua \(D\).

Ta chứng minh được \(\left(AC;AC'\right)=90^0\) và \(AC=AC'\)

Do đó \(C'=Q_{\left(A;90^0\right)}\left(C\right)\)

b) Ta có \(Q_{\left(O;90^0\right)}\left(B\right)=C\) , \(Q_{\left(O;90^0\right)}\left(C\right)=D\)

Do đó: \(Q_{\left(O;90^0\right)}\left(BC\right)=CD\).

II. TÍNH CHẤT

a) Tính chất 1:

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Ví dụ: Phép quay tâm \(O\) góc \(\alpha\) biến điểm \(A\) thành \(A'\), \(B\) thành \(B'\) thì \(A'B'=AB\).

b) Tính chất 2:

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Nhận xét: Phép quay góc \(\alpha\) với \(0< \alpha< \pi\), biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\) sao cho góc giữa \(d\) và \(d'\) bằng \(\alpha\) (nếu \(0< \alpha< \dfrac{\pi}{2}\)), hoặc bằng \(\pi-\alpha\) (nếu \(\dfrac{\pi}{2}< a< \pi\)).

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left(2;0\right)\) và đường thẳng \(\left(d\right):x+y-2=0\). Tìm ảnh của điểm \(A\) và đường thẳng \(\left(d\right)\) qua phép quay tâm \(O\) góc \(90^0\).

Giải:

Ta nhận thấy \(A\left(2;0\right)\in Ox\)

Giả sử \(B=Q_{\left(O;90^0\right)}\left(A\right)\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(OA;OB\right)=90^0\\OA=OB\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}B\in Oy,\left(OA;OB\right)=90^0\\OB=2\end{matrix}\right.\)

Nên \(B\left(0;2\right)\) là ảnh của \(A\) qua phép quay tâm \(O\) góc \(90^0\).

Xét đường thẳng \(\left(d\right):x+y-2=0\) 

Nhận thấy \(A\left(2;0\right)\in\left(d\right)\) và \(B\left(0;2\right)\in\left(d\right)\)

Giả sử \(\left(d'\right)=Q_{\left(O;90^0\right)}\left(d\right)\)

Khi đó ta có: \(B=Q_{\left(O;90^0\right)}\left(A\right)\in\left(d'\right)\)

                     \(C\left(-2;0\right)=Q_{\left(O;90^0\right)}\left(B\right)\in\left(d'\right)\) 

Như vậy đường thẳng \(\left(d'\right)\)  đi qua \(B\left(0;2\right)\) và \(C\left(-2;0\right)\)

Suy ra \(\left(d'\right):x-y+2=0\).