Bài 7: Phép vị tự

I. ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa:

Cho điểm \(O\) và số \(k\ne0\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thành điểm \(M'\) sao cho \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\) được gọi là phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(k\).

Phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(k\) thường được kí hiệu là \(V_{\left(O;k\right)}\).

Ví dụ 1: Trong hình vẽ sau, các điểm \(O,A',B'\) lần lượt là ảnh của các điểm \(O,A,B\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(-2\):

Nhận xét:

      1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

      2) Khi \(k=1\), phép vị tự là phép đồng nhất.

      3) Khi \(k=-1\), phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.

      4) \(M'=V_{\left(O;k\right)}\left(M\right)\Leftrightarrow M=V_{\left(O;\dfrac{1}{k}\right)}\left(M'\right)\).

II. TÍNH CHẤT

a) Tính chất 1:

Nếu phép vị tự tỉ số \(k\) biến hai điểm \(M,N\) tuỳ ý theo thứ tự thành \(M',N'\) thì \(\overrightarrow{M'N'}=k\overrightarrow{MN}\) và \(M'N'=\left|k\right|.MN\).

Ví dụ 2: Gọi \(A',B',C'\) theo thứ tự là ảnh của \(A,B,C\) qua phép vị tự tỉ số \(k\).

             Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{AC},t\in R\Leftrightarrow\overrightarrow{A'B'}=t\overrightarrow{A'C'}\).

Giải:

Gọi \(O\) là tâm của phép vị tự tỉ số \(k\). Ta có \(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{A'C'}=k\overrightarrow{AC}\)

Do đó: \(\overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\dfrac{1}{k}\overrightarrow{A'B'}=t.\dfrac{1}{k}\overrightarrow{A'C'}\Leftrightarrow\overrightarrow{A'B'}=t\overrightarrow{A'C'}\).

2) Tính chất 2:

Phép vị tự tỉ số \(k\):

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thằng.

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến đường tròn bán kính \(R\) thành đường tròn bán kinh \(\left|k\right|R\).

Ví dụ 3: Cho điểm \(O\) và đường tròn \(\left(I;R\right)\). Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(-2\) .

Giải:

Ta chỉ cần tìm \(I'=V_{\left(O;-2\right)}\left(I\right)\) bằng cách lấy điểm \(I'\) trên tia đối của tia \(OI\) sao cho \(OI'=2.OI\).

Khi đó ảnh của \(\left(I;R\right)\) là \(\left(I';2R'\right)\).

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) , phép vị tự tâm \(O\left(0;0\right)\) tỉ số \(k=-5\) biến đường thẳng \(\left(d\right):2x+3y-4=0\) thành đường thẳng \(\left(d'\right)\). Viết phương trình đường thẳng \(\left(d'\right)\).

Giải:

Do \(\left(d'\right)=V_{\left(O;-5\right)}\left(d\right)\) nên ta có \(\left(d\right)\)//\(\left(d'\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\left(d'\right)\) có dạng: \(2x+y+m=0\)

Gọi điểm \(M\left(2;0\right)\in\left(d\right)\), \(M'\left(x';y'\right)=V_{\left(O;-5\right)}\left(M\right)\) thì \(M\left(x';y'\right)\in\left(d'\right)\) và \(\overrightarrow{OM'}=-5.\overrightarrow{OM}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=-5.2=-10\\y'=-5.0=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(-10;0\right)\in\left(d'\right)\).

Thay vào phương trình của \(\left(d'\right)\) ta tìm được \(\left(d'\right)\): \(2x+y+20=0\)

Vậy \(\left(d'\right)\): \(2x+y+20=0\) là ảnh của \(\left(d\right)\) qua phép vị tự đã cho.

III. TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Định lí:

Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Tâm của phép vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.

Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn:

Cho hai đường tròn \(\left(I;R\right)\) và \(\left(I';R'\right)\). Có ba trường hợp xảy ra:

+) Trường hợp \(I\) trùng với \(I'\):

    Khi đó \(V_{\left(I;\dfrac{R'}{R}\right)}\) và \(V_{\left(I;-\dfrac{R'}{R}\right)}\) biến đường tròn \(\left(I;R\right)\) thành đường tròn \(\left(I';R'\right)\).

+) Trường hợp \(I\) khác \(I'\) và \(R\ne R'\):

    Lấy \(M\in\left(I;R\right)\), đường thẳng qua \(I'\) song song với \(IM\) cắt \(\left(I';R'\right)\) tại \(M'\) và \(M''\). Giả sử \(M,M'\) nằm cùng phía đối với đường thẳng \(II'\) còn \(M,M''\) nằm khác phía đối với đường thẳng \(II'\). Giả sử đường thẳng \(MM'\) cắt đường thẳng \(II'\) tại \(O\) nằm ngoài đoạn thẳng \(II'\) , còn đường thẳng \(MM''\) cắt đường thẳng \(II'\) tại \(O_1\) nằm trong đoạn thẳng \(II'\).

  Khi đó \(V_{\left(O;k\right)}\) với \(k=\dfrac{R'}{R}\) và \(V_{\left(O_1;k_1\right)}\) với \(k_1=-\dfrac{R'}{R}\) biến đường tròn \(\left(I;R\right)\) thành đường tròn \(\left(I';R'\right)\).

 Ta gọi \(O\) là tâm vị tự ngoài còn \(O_1\) là tâm vị tự trong của hai đường tròn đó.

+) Trường hợp \(I\) khác \(I'\) và \(R'=R\):

    Khi đó \(MM'\) // \(II'\) nên chỉ có \(V_{\left(O_1;k_1\right)}\) với \(k_1=-\dfrac{R'}{R}=-1\) biến đường tròn \(\left(I;R\right)\) thành đường tròn \(\left(I';R'\right)\). 

Ví dụ 5: Cho hai đường tròn \(\left(O;2R\right)\) và \(\left(O';R\right)\) nằm ngoài nhau. Tìm phép vị tự biến \(\left(O;2R\right)\) thành \(\left(O';R\right)\).

Giải:

Lấy điểm \(L\) bất kì trên \(\left(O;2R\right)\), đường thẳng qua \(O'\) song song với \(OL\) cắt \(\left(O';R\right)\) tại \(M\) và \(N\). Hai đường thẳng \(LM\) và \(LN\) cắt đường thẳng \(OO'\) lần lượt tại \(I\) và \(J\).

Khi đó các phép vị tự \(V_{\left(I;\dfrac{1}{2}\right)}\) và \(V_{\left(J;-\dfrac{1}{2}\right)}\) biến \(\left(O;2R\right)\) thành \(\left(O';R\right)\).