BÀI 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

I. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH

Định nghĩa: 

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình \(F\) biến các điểm \(M,N\) lần lượt thành các điểm \(M',N'\) thì \(MN=M'N'\).

Nhận xét:

- Các phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm và phép quay đều là các phép dời hình.

- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp các phép dời hình cũng là một phép dời hình.

Ví dụ 1: 

- Tam giác \(A'B''C''\) là ảnh của tam giác \(ABC\) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục và phép quay tâm \(A'\):

- Ngũ giác \(MNPQR\) là ảnh của ngũ giác \(M'N'P'Q'R'\) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện phép đối xứng trục \(d\):

Ví dụ 2: Cho hình vuông \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Tìm ảnh của các điểm \(A,B,O\) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm \(O\) góc \(90^0\) và phép đối xứng qua đường thẳng \(BD\).

Giải:

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}Q_{\left(O;90^0\right)}\left(A\right)=D\\Đ_{BD}\left(D\right)=D\end{matrix}\right.\) nên \(D\) là ảnh của \(A\) qua phép dời hình đã cho.

           \(\left\{{}\begin{matrix}Q_{\left(O;90^0\right)}\left(B\right)=A\\Đ_{BD}\left(A\right)=C\end{matrix}\right.\) nên \(C\) là ảnh của \(B\) qua phép dời hình đã cho.

           \(\left\{{}\begin{matrix}Q_{\left(O;90^0\right)}\left(O\right)=O\\Đ_{BD}\left(O\right)=O\end{matrix}\right.\) nên \(O\) là ảnh của chính nó qua phép dời hình đã cho.

Ví dụ 3: Trong hình vẽ dưới đây, tam giác \(DEF\) là ảnh của tam giác \(ABC\) qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm \(B\) góc \(90^0\) và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{C'F}=\left(2;-4\right)\):

II. TÍNH CHẤT

Phép dời hình:

1) Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ;

2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn bằng nó ;

3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó ;

4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \(A'B'C'\) thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọn nội tiếp, ngoại tiếp.. của tam giác \(ABC\) tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường trọng nội tiếp, ngoại tiếp... của tam giác \(A'B'C'\).

b) Phép dời hình biến đa giác \(n\) cạnh thành đa giác \(n\) cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Ví dụ 4: Cho lục giác đều \(ABCDEF\), \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm ảnh của tam giác \(OAB\) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm \(O\) góc \(60^0\) và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OE}\).

Giải:

Gọi phép dời hình đã cho là \(F\) 

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}Q_{\left(O;60^0\right)}\left(O\right)=O\\T_{\overrightarrow{OE}}\left(O\right)=E\end{matrix}\right.\) nên \(F\left(O\right)=E\)

           \(\left\{{}\begin{matrix}Q_{\left(O;60^0\right)}\left(A\right)=B\\T_{\overrightarrow{OE}}\left(B\right)=O\end{matrix}\right.\) nên \(F\left(A\right)=O\)

           \(\left\{{}\begin{matrix}Q_{\left(O;60^0\right)}\left(B\right)=C\\T_{\overrightarrow{OE}}\left(C\right)=D\end{matrix}\right.\) nên \(F\left(B\right)=D\)

Do đó \(F\left(\Delta OAB\right)=\Delta EOD\)

Vậy ảnh của tam giác \(OAB\) qua phép dời hình đã cho là tam giác \(EOD\).

II. KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU

Định nghĩa:

Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.