Bài 4: Phép đối xứng tâm

I. ĐỊNH NGHĨA

Cho điểm \(I\). Phép biến hình biến điểm \(I\) thành chính nó, biến mỗi điểm \(M\) khác \(I\) thành \(M'\) sao cho \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MM'\) được gọi là phép đối xứng tâm \(I\).

Điểm \(I\) được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm \(I\) thường được kí hiệu là \(Đ_I\).

Từ định nghĩa trên ta suy ra 

                \(M'=Đ_I\left(M\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{IM'}=-\overrightarrow{IM}\)

Nhận xét: \(M'=Đ_I\left(M\right)\Leftrightarrow M=Đ_I\left(M'\right)\)

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, các điểm \(X,Y,Z\) tương ứng là ảnh của các điểm \(D,E,C\) qua phép đối xứng tâm \(I\) và ngược lại:

Nếu hình \(H'\) là ảnh của hình \(H\) qua \(Đ_I\) thì ta còn nói \(H'\) đối xứng với \(H\) qua tâm \(I\), hay \(H\) và \(H'\) đối xứng qua tâm \(I\).

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left(1;2\right)\) và điểm \(I\left(3;2\right)\). Tìm ảnh của điểm \(A\) qua phép đối xứng tâm \(I\).

Giải:

Gọi \(B\) là ảnh của điểm \(A\) qua phép đối xứng tâm \(I\)

Thì ta có \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_A+x_B}{2}=x_I\\\dfrac{y_A+y_B}{2}=y_I\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_I-x_A=2.3-1=5\\y_B=2y_I-y_A=2.2-2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(B\left(5;2\right)\) 

Vậy \(B\left(5;2\right)\) là ảnh của điểm \(A\) qua phép đối xứng tâm \(I\).

II. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG QUA GỐC TOẠ ĐỘ

Trong hệ toạ độ \(Oxy\) cho điểm \(M\left(x;y\right)\), \(M'=Đ_I\left(M\right)=\left(x';y'\right)\) , khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}x'=-x\\y'=-y\end{matrix}\right.\).

Biểu thức này được gọi là biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua gốc toạ độ.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A\left(-4;3\right)\). Tìm ảnh của \(A\) qua phép đối xứng tâm \(O\)

Giải:

Gọi \(A'\left(a;b\right)\) là ảnh của \(A\) qua phép đối xứng tâm \(O\)

Theo biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua gốc toạ độ ta có:

          \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(-4\right)\\b=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A'\left(4;-3\right)\) ảnh của \(A\) qua phép đối xứng tâm \(O\).

III. TÍNH CHẤT

a) Tính chất 1:

Nếu \(Đ_I\left(M\right)=M'\) và \(Đ_I\left(N\right)=N'\) thì \(\overrightarrow{M'N'}=-\overrightarrow{MN}\), từ đó suy ra \(M'N'=MN\).

Thật vậy, vì \(\overrightarrow{IM'}=-\overrightarrow{IM}\) và \(\overrightarrow{IN'}=-\overrightarrow{IN}\) 

nên \(\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{IN'}-\overrightarrow{IM'}=-\overrightarrow{IN}-\left(-\overrightarrow{IM}\right)=-\left(\overrightarrow{IN}-\overrightarrow{IM}\right)=-\overrightarrow{MN}\).

Nói cách khác, phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
b) Tính chất 2:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\left(d\right):x-2y+3=0\) . Tìm ảnh của \(\left(d\right)\) qua phép đối xứng tâm \(O\).

Giải:

Gọi \(\left(d'\right)\) là ảnh của \(\left(d\right)\) qua phép đối xứng tâm \(O\).

Vì \(O\notin\left(d\right)\) nên ta có \(\left(d'\right)\) // \(\left(d\right)\)

Suy ra \(\left(d'\right)\) có dạng \(x-2y+m=0\).

Lấy điểm \(A\left(-3;0\right)\in\left(d\right)\), \(Đ_O\left(A\right)=A'\in\left(d'\right)\)

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=-x_A=-\left(-3\right)=3\\y_{A'}=-y_A=-0=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A'\left(3;0\right)\in\left(d'\right)\)

Thay vào phương trình \(x-2y+m=0\) ta được \(m=-3\)

Vậy ảnh của \(\left(d\right)\) qua phép đối xứng tâm \(O\) là đường thẳng \(\left(d'\right)\): \(x-2y-3=0\).

Ví dụ 4: Cho đường tròn \(\left(C\right):\left(x-2\right)^2+\left(y+4\right)^2=5\). Tìm phương trình đường tròn \(\left(C'\right)\) là ảnh của \(\left(C\right)\) qua phép đối xứng tâm \(O\) .

Giải:
Đường tròn \(\left(C\right)\) có tâm \(I\left(2;-4\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Do đó \(\left(C'\right)\) có tâm \(I'=Đ_O\left(I\right)=\left(2;-4\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Vậy \(\left(C'\right)\): \(\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=5\).

IV. TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Định nghĩa:

Điểm \(I\) được gọi là tâm đối xứng của hình \(H\) nếu phép đối xứng tâm \(I\) biến \(H\) thành chính nó.

Khi đó ta nói \(H\) là hình có tâm đối xứng.

Ví dụ: Các hình sau là các hình có tâm đối xứng: