Bài 25. Đa thức một biến

1. Đơn thức một biến

a) Sơ lược về đơn thức một biến

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của biến gọi là bậc của đơn thức.

Ví dụ 1:

a) Biểu thức 5x² là một đơn thức, trong đó 5 là hệ số, số mũ 2 của x là bậc của đơn thức đó.

b) Biểu thức -4x là một đơn thức, trong đó -4 là hệ số, số mũ 1 của x là bậc của đơn thức đó vì x¹ = x.

Chú ý:

+ Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

+ Số thực là một đơn thức có bậc 0.

b) Các phép tính cộng, trừ và nhân đơn thức một biến

+ Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên lũy thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức.

+ Nhận hai đơn thức tùy ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai lũy thừa của biến với nhau. Tích nhận được là một đơn thức.

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính

a) x³ + (-2)x³;                                   b) (0,5x).3x² .

Hướng dẫn giải

a) x³ + (-2)x³ = \([1+(-2)]x^3=-x^3\).

b) (0,5x).3x² =\((0,5.3).(x.x^2)=1,5x^3.\)

2. Khái niệm đa thức một biến

Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến, mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Chú ý:

+ Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn. Chẳng hạn: A = A(x) = x - 1.

+ Một đơn thức cũng là một đa thức.

Ví dụ 3: Đa thức A = A(x) = x - 1 có hai hạng tử là x và -1.

3. Đa thức một biến thu gọn

Ta gọi các đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là các đa thức thu gọn.

Ví dụ 4: Thu gọn đa thức \(B=x^3+3x^2-2x+1-x^3\).

Hướng dẫn giải

\(B=x^3+3x^2-2x+1-x^3\\ B=(x^3-x^3)+3x^2-2x+1\\ B=3x^2-2x+1.\)

4. Sắp xếp đa thức một biến

Để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm dần của biến.

Ví dụ 5: Thu gọn và sắp xếp đa thức \(P(x)=-2x^3+3x^2+x^4+x^3+x^2-2x+1\) theo lũy thừa giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

\(P(x)=-2x^3+3x^2+x^4+x^3+x^2-2x+1\\ =x^4+(-2x^3+x^3)+(3x^2+x^2)-2x+1\\ =x^4-x^3+4x^2-2x+1.\)

Chú ý: Người ta cũng sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng dần của biến.

5. Bậc và các hệ số của một đa thức

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không:

+ Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó.

+ Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó.

+ Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Chú ý

+ Đa thức không thì không có bậc xác định.

+ Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất  phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).

+ Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

Ví dụ 6: Cho đa thức \(Q(x)=-x^2+2x+1-x^2+x^3\).

a) Tìm bậc của đa thức Q(x).

b) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức Q(x).

Hướng dẫn giải

\(Q(x)=-x^2+2x+1-x^2+x^3\\ =x^3+(-x^2-x^2)+2x+1\\ =x^3-2x^2+2x+1.\)

a) Bậc của đa thức Q(x) là 3.

b) Hệ số cao nhất của đa thức Q(x) là 1.

Hệ số tự do của đa thức Q(x) là 1.

6. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu tại x = a, đa thức F(x) có giá trị bằng 0 tức là F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).

Chú ý:

+ Một đa thức có thể không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.

+ Nếu một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một nghiệm của đa thức đó.

Ví dụ 7:

a) Hỏi x = 2 có là nghiệm của đa thức F(x) = x² - 4 không?

b) Tìm nghiệm của đa thức H(x) = 4x + 4.

Hướng dẫn giải

a) Thay x = 2 vào đa thức F(x) ta có

F(2) = 2² - 4 = 4 - 4 = 0.

Do đó x = 2 là nghiệm của F(x).

b) Số x là nghiệm của đa thức H(x) = 4x + 4 nếu 

H(x) = 0

hay 4x + 4 = 0

       4x = -4

        x = (-4) : 4 = -1.

Vậy x = -1 là nghiệm của H(x).