Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn

Hướng dẫn giải

a) Vì hình vuông cũng là một hình chữ nhật nên mỗi đường chéo của hình vuông cũng là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.

b) Vì ABCD là hình vuông nên \(AC \bot BD\) hay \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) và OA = OB.

Xét tam giác OAB  vuông tại O, ta có:

 \(\begin{array}{l}O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\\2O{A^2} = {a^2}\\OA = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.\end{array}\)

Vậy \(OA = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}.\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Giả sử ta có hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O).

Suy ra bán kính đường tròn là OC, đường kính AC.

Hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 8cm, chiều rộng BC = 6cm. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10cm.\)

Do đó \(R = OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5cm.\)

Diện tích hình tròn là: \(\pi {R^2} = \pi {.5^2} = 25\pi (c{m^2}).\)

Diện tích hình chữ nhật là: \(8.6 = 48(c{m^2}).\)

Diện tích phần tô màu đỏ là: \(25\pi  - 48 \approx 30,5(c{m^2})\) (với \(\pi  \approx 3,14\)).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lý tổng 3 góc trong tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ABC} + \widehat {BCA} + \widehat {CAB} = 180^\circ \\\widehat {CAB} = 180^\circ  - \widehat {ABC} - \widehat {BCA}\\\widehat {CAB} = 180^\circ  - 60^\circ  - 70^\circ \\\widehat {CAB} = 50^\circ .\end{array}\)

Vì tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn nên tổng 2 góc đối bằng \(180^\circ \), do đó ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat D = 180^\circ \\\widehat D = 180^\circ  - \widehat A\\\widehat D = 180^\circ  - 50^\circ \\\widehat D = 130^\circ .\end{array}\)

Vậy \(\widehat {BDC} = 130^\circ .\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Giả sử hình vuông có cạnh là a, thì bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là \(\frac{{\sqrt 2 a}}{2}.\)

Chu vi hình vuông là 4a, chu vi của đường tròn ngoại tiếp là \(2\frac{{\sqrt 2 a}}{2}\pi  = \sqrt 2 a\pi .\)

Tính tỉ số giữa chu vi của một hình vuông và chu vi của một đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là: \(\frac{{4a}}{{\sqrt 2 a\pi }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{\pi }.\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên tổng 2 góc đối bằng \(180^\circ \), do đó ta có: \(\widehat A + \widehat C = 180^\circ ,\widehat B + \widehat D = 180^\circ .\)

a)     \(\widehat A + \widehat C = 180^\circ \) suy ra \(\widehat C = 180^\circ  - \widehat A = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ .\)

\(\widehat B + \widehat D = 180^\circ \) suy ra \(\widehat D = 180^\circ  - \widehat B = 180^\circ  - 125^\circ  = 55^\circ .\)

b)    \(\widehat B + \widehat D = 180^\circ \) suy ra \(\widehat D = 180^\circ  - \widehat B = 180^\circ  - 95^\circ  = 85^\circ .\)

\(\widehat A + \widehat C = 180^\circ \) suy ra \(\widehat C = 180^\circ  - \widehat A = 180^\circ  - 67^\circ  = 113^\circ .\)

c)     \(\widehat A + \widehat C = 180^\circ \) suy ra \(\widehat A = 180^\circ  - \widehat C = 180^\circ  - 75^\circ  = 105^\circ .\)

\(\widehat B + \widehat D = 180^\circ \) suy ra \(\widehat B = 180^\circ  - \widehat D = 180^\circ  - 115^\circ  = 65^\circ .\)

d)    \(\widehat B + \widehat D = 180^\circ \) suy ra \(\widehat B = 180^\circ  - \widehat D = 180^\circ  - 103^\circ  = 77^\circ .\)

\(\widehat A + \widehat C = 180^\circ \) suy ra \(\widehat C = 180^\circ  - \widehat A = 180^\circ  - 117^\circ  = 63^\circ .\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 5 dm, chiều rộng BC = 3 dm.

Xét tam giác ACB vuông tại B có:

 \(\begin{array}{l}A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}(Pytago)\\{5^2} + {3^2} = A{C^2}\\AC = \sqrt {34} dm\end{array}\)

Mà hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn nên đường kính tấm đệm là\(AB = \sqrt {34} dm.\)

Diện tích hình tròn là: \(S = \pi .\frac{{{d^2}}}{4} = \pi .\frac{{{{\sqrt {34} }^2}}}{4} = \frac{{17\pi }}{2}d{m^2}.\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD}\)(cùng chắn cung AD).

b) Xét tam giác AIB và tam giác DIC có:

\(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {ACD} = \widehat {ABD}\)(cmt)

Nên \(\Delta AIB\backsim \Delta IDC\)(g.g)

Suy ra \(\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{IB}}{{IC}}\) hay IA.IC = IB.ID (đpcm).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Do tam giác ABC có hai đường cao AM, CN nên \(\widehat {HMB} = 90^\circ ,\widehat {BNH} = 90^\circ \)

Xét tứ giác HMBN có:

\(\begin{array}{l}\widehat {NHM} + \widehat {HMB} + \widehat {MBN} + \widehat {BNH} = 360^\circ \\\widehat {NHM} + \widehat {MBN} = 360^\circ  - \widehat {HMB} - \widehat {BNH}\\\widehat {NHM} + \widehat {MBN} = 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = 180^\circ .\end{array}\)

Hay \(\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\)

b) Vì ABCD nội tiếp đường tròn nên  \(\widehat {CDA} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\)

mà \(\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ \) (câu a)

suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {MHN}\), hơn nữa \(\widehat {CHA} = \widehat {MHN}\) (đối đỉnh)

vậy \(\widehat {CHA} = \widehat {CDA.}\)

c) Xét tam giác AMB vuông tại M có: \(\widehat {BAM} + \widehat {AMB} = \widehat {BAM} + 90^\circ  = 180^\circ  - \widehat {MBA.}\)

Mà \(180^\circ  - \widehat {MBA} = \widehat {ADC}\) (do ABCD nội tiếp)

Vậy \(\widehat {ADC} = \widehat {BAM} + 90^\circ .\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: ABCD nội tiếp đường tròn nên \(\widehat A + \widehat C = 180^\circ .\) Hơn nữa \(\widehat A + \widehat D = 180^\circ \) (do AB//CD)

Suy ra \(\widehat C = \widehat D\).

Xét hình thang ABCD có AB//CD, \(\widehat C = \widehat D\) nên ABCD là hình thang cân (dhnb).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD vì nó đi qua 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD.

Đường tròn (I) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABMN vì nó đi qua 4 đỉnh A, B, M, N của tứ giác ABMN.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)