Bài 1. Tập hợp các số hữu tỉ

1. Số hữu tỉ

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\dfrac{a}{b}\) với a, b \(\in \mathbb{Z}\) và \(b\ne 0\).

Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ.

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là \(\mathbb{Q}\).

Ví dụ 1: Các số \(\dfrac{-3}{7}; \space 4; \space 3\dfrac{1}{2}\) đều là các số hữu tỉ vì các số đều được viết dưới dạng phân số như sau:

\(4=\dfrac{4}{1}=\dfrac{8}{2}...\\ 3\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}=...\)

Nhận xét: Mỗi số nguyên là một số hữu tỉ.

2. Thứ tự trong tập hợp số hữu tỉ

+ Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có: hoặc x = y hoặc x < y hoặc x > y.

+ Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương.

Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm.

Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.

Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó.

Ví dụ 2: So sánh các cặp số hữu tỉ sau

a) -0,25 và \(\dfrac{-3}{5}\);                            b) \(-1\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(-0,25 =\dfrac{-1}{4}=\dfrac{-5}{20}\) và \(\dfrac{-3}{5}=\dfrac{-12}{20}\).

Vì -5 > -12 nên \(\dfrac{-5}{20}>\dfrac{-12}{20}\) . Do đó -0,25 > \(\dfrac{-3}{5}\).

b) Ta có \(-1\dfrac{2}{3}<0\) và \(\dfrac{1}{3}>0\) nên \(-1\dfrac{2}{3}<\dfrac{1}{3}\).

Nhận xét: Số hữu tỉ dương luôn luôn lớn hơn số hữu tỉ âm.z

3. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Tương tự như đối với số nguyên, ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số.

+ Trên trục số, mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một điểm. Điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.

+ Với hai số hữu tỉ bất kì x, y, nếu x < y thì trên trục số nằm ngang, điểm x ở bên trái điểm y.

Ví dụ 3: Để biểu diễn số hữu tỉ \(\dfrac{-3}{5}\) ta làm như sau:

- Chia đoạn thẳng đơn vị thành 5 phần bằng nhau, ta được đoạn đơn vị mới bằng \(\dfrac{1}{5}\) đơn vị cũ.

- Số hữu tỉ \(\dfrac{-3}{5}\) được biểu diễn nằm ở bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.

4. Số đối của một số hữu tỉ

Hai số hữu tỉ có điểm biểu diễn trên trục số cách đều và nằm về hai phía điểm gốc O là hai số đối nhau, số này gọi là số đối của số kia.

Số đối của số hữu tỉ x kí hiệu là -x.

Ví dụ 4: Tìm số đối của các số: \(1,5; \space\dfrac{-6}{13};\space-1\dfrac{2}{5}\).

Hướng dẫn giải

Số đối của 1,5 là -1,5.

Số đối của \(\dfrac{-6}{13}\) là \(\dfrac{6}{13}\).

Số đối của \(-1\dfrac{2}{5}\) là \(1\dfrac{2}{5}\).

Nhận xét:

a) Mọi số hữu tỉ đều có một số đối.

b) Số đối của 0 là số 0.

c) Với hai số hữu tỉ âm, số nào có số đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn.