M và N lần lượt là trung điểm của BC ,CD của tứ giác ABCD.Chứng minh \(S\left(ABCD\right)\le\frac{1}{2}\left(AM+AN\right)^2\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. CMR: SABCD<\(\frac{1}{2}\left(AM+AN\right)^2\)
11 tháng 9 2021 lúc 14:13
Cho tứ giác \(ABCD\) , gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\). Biết \(MP=\dfrac{1}{2}\left(AD+BC\right)\), \(NQ=\dfrac{1}{2}\left(AB+CD\right)\). \(CMR:\) tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Trên tia đối của PB lấy H sao cho BP = PH
ΔBPC và ΔHPD có:
BP = HP (cách vẽ)
\(\widehat{BPC}=\widehat{HPD}\left(đối.đỉnh\right)\) (đối đỉnh)
PC = PD (gt)
Do đó, ΔBPC=ΔHPD(c.g.c)
=> BC = DH (2 cạnh t/ứng)
và \(\widehat{PBC}=\widehat{PHD}\) (2 góc t/ứ), mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên BC // HD
ΔABH có: M là trung điểm của AB (gt)
P là trung điểm của BH (vì HP = BP)
Do đó MP là đường trung bình của ΔABH
\(\Rightarrow MP=\dfrac{1}{2}AH\) ; MP // AH
\(\Rightarrow2MP=AH\)
Có: \(AD+DH\ge AH\) (quan hệ giữa 3 điểm bất kì)
\(\Leftrightarrow AD+BC\ge2MP\) (thay \(DH=BC;AH=2MP\))
\(\Leftrightarrow\dfrac{AD+BC}{2}\ge MP\)
Mà theo đề bài: \(MP=\dfrac{BC+AD}{2}\)
Do đó, \(AD+DH=AH\)
=> A,D,H thẳng hàng
Mà HD // BC (cmt) nên AD // BC
Tương tự: AB // CD
Tứ giác ABCD có: AD // BC (cmt);AB // CD (cmt)
Do đó, ABCD là hình bình hành
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho tứ giác ABCD có AB=a, CD=b. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BD, AB, AC, DC. Chứng minh: Diện tích MNIK
\(=\frac{\left(a-b\right)2}{8}\)
gọi m,n lần lượt là trung điểm bc, cd của tứ giác lồi abcd .chứng minh 2Sabcd <= (am+an)^2
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng :
a) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\)
b) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\)
26 tháng 9 2021 lúc 7:53
Cho hình vuông ABCD tâm I có E,F,G,H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, AD. M,N,P,Q là các điểm kí hiệu như hình vẽ.Gọi H là ảnh của tam giác AHE lần lượt qua các phép biến hìnhV_{left(I;-1right)}; Q_{left(I;90^oright)}; V_{left(B;2right)}. Hỏi H là hình nào trong các hình sau:A. CBD. B. DCA. C. BAC. D. ADB
Đọc tiếp
Cho hình vuông ABCD tâm I có E,F,G,H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, AD. M,N,P,Q là các điểm kí hiệu như hình vẽ.
Gọi H là ảnh của tam giác AHE lần lượt qua các phép biến hình\(V_{\left(I;-1\right)}\); \(Q_{\left(I;90^o\right)}\); \(V_{\left(B;2\right)}\). Hỏi H là hình nào trong các hình sau:
A. CBD. B. DCA. C. BAC. D. ADB
cho tứ giác ABCD. gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD và DA
a/ chứng minh : NQ\(\le\)\(\frac{AB+CD}{2}\)
b/Trong trường hợp NQ=\(\frac{AB+CD}{2}\)thì tứ giác ABCD là hình gì? Trong trường hợp này , vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E, cắt BC tại F. chứng minh O là trung điểm EF
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a)Biết SABM=3cm2 và SCDN=4cm2, tính SABCD
b)Gọi F,E lần lượt là giao điểm của BM và AN, CM và DN. Chứng minh \(\frac{AF}{FN}+\frac{DE}{EN}=\frac{2\left(S_{ABM}+S_{CDM}\right)}{S_{BMC}}\)
có đúng đề ko cậu
a/Gọi P,Q là tđ AB,CD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_{AMP}=\frac{1}{2}S_{AMB}=1,5\\S_{NQC}=\frac{1}{2}S_{CDN}=2\end{matrix}\right.\)
Lại có: M,P là tđ AD,AB nên \(\Delta AMP\sim\Delta ADB\) với k=1/2
\(\Rightarrow\frac{S_{AMP}}{S_{ADB}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\Rightarrow S_{ADB}=4.S_{AMP}=6\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{S_{NQC}}{S_{BDC}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\Rightarrow S_{BDC}=4S_{NQC}=8\left(2\right)\)
(1) cộng (2) có: \(S_{ABCD}=6+8=14\)
SGK Cánh Diều trang 64
2 tháng 9 2023 lúc 21:08
Cho hình thang ABCD \(\left( {AB\parallel CD} \right)\). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:
a) M, N, P thẳng hàng
b) \(MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)\).
a) Vì M và P lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, AC nên MP là đường trung bình của tam giác ADC.
\( \Rightarrow MP\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 1 \right)\)
Vì P và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.
\( \Rightarrow PN\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có \(MP \equiv PN\) hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.
b) Vì MP là đường trung bình của tam giác ADC nên \(MP = \frac{1}{2}DC\).
Vì PN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(PN = \frac{1}{2}AB\).
Ta có:
\(MN = MP + PN = \frac{1}{2}DC + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\left( {DC + AB} \right)\)
Vậy \(MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)\).
Đúng 0
Bình luận (0)