a)

\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 1} \right) = 1\end{array}\)

b) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) và có hệ số góc bằng \(k = f'\left( 1 \right) = 1\) là: \(y - \frac{1}{2} = 1\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = x - 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = x - \frac{1}{2}\).

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại duy nhất điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\).

a) Khi \(x\) càng gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4.

b) Khi điểm \(H\) thay đổi gần về điểm \(\left( {1;0} \right)\) trên trục hoành thì điểm \(P\) càng gần đến điểm \(\left( {0;4} \right)\).

Vì hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên n=-4

=>m=-2

- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)

- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)

\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:

ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)

Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương

\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)

Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)

Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow x^3-2\left(3m+1\right)x=0\) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m>-\frac{1}{3}\) (1)

Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị  là \(A\left(0;2m+2\right);B\left(-\sqrt{6m+2};-9m^2-4m+1\right);C\left(\sqrt{6m+2};-9m^2-4m+1\right)\)

Rõ ràng tam giác ABC cân tại A và trung tuyến kẻ từ A thuộc Oy. Do đó O là trọng tâm của tam giác ABC \(\Leftrightarrow y_A+2y_B=0\)

Hay \(2m+2+2\left(-9m^2-4m+1\right)=0\Leftrightarrow9m^2+3m-2=0\)

Suy ra \(m=-\frac{2}{3}\) hoặc \(m=\frac{1}{3}\)

Kết hợp với (1) suy ra giá trị của m là \(m=\frac{1}{3}\)

\(y'=2x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2=3.9>0\)

     \(=\left(m+1\right)^2-3>0\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có : \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là \(\left(x_1;y_1\right)\) và  \(\left(x_2;y_2\right)\)

=> \(y_1=-2\left(m^2+2m-2\right)x_1+4m+1\)

   \(y_2=-2\left(m^2+2m-2\right)x_2+4m+1\)

Vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là 

\(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\) ta có điều kiện cần là :

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-2=1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Theo định lí Viet ta có \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3\end{cases}\)

Khi m =1 => phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là 

\(y=-2x+5\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là :

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\Rightarrow m=1\) thỏa mãn

Khi m=-3 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x-11

(làm tương tự cách như trên)

a) Với \(x\in\left[0;1\right]\) => x  - 2 < 0 => |x - 2| = - (x -2)

Khi đó, \(f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\frac{m\left(x-2\right)}{-\left(x-2\right)}=2\left(m-1\right)x-m\)

Để f(x) < 0 với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(2\left(m-1\right)x-m

Lời giải:

1.PT hoành độ giao điểm:

$x^2-mx-4=0(*)$ 

Khi $m=3$ thì pt trở thành: $x^2-3x-4=0$

$\Leftrightarrow (x+1)(x-4)=0$

$\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=4$

Với $x=-1$ thì $y=(-1)^2=1$. Giao điểm thứ nhất là $(-1;1)$

Với $x=4$ thì $y=4^2=16$. Giao điểm thứ hai là $(4;16)$

2.

$\Delta (*)=m^2+16>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, đồng nghĩa với việc 2 ĐTHS luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $A(x_1,y_1); B(x_2,y_2)$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m$ và $x_1x_2=-4$

Khi đó:

$y_1^2+y_2^2=49$

$\Leftrightarrow (mx_1+4)^2+(mx_2+4)^2=49$

$\Leftrightarrow m^2(x_1^2+x_2^2)+8m(x_1+x_2)=17$

$\Leftrightarrow m^2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+8m(x_1+x_2)=17$

$\Leftrightarrow m^2(m^2+8)+8m^2=17$

$\Leftrightarrow m^4+16m^2-17=0$

$\Leftrightarrow (m^2-1)(m^2+17)=0$

$\Rightarrow m^2=1$

$\Leftrightarrow m=\pm 1$