\(S=1+3+5...+\left(2n-1\right)\)

Ta thấy \(1+\left(2n-1\right)=2n;3+\left(2n-3\right)=2n...;n+\left(2n-n\right)=2n\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{n}{2}.2n=n^2\)

n²

$S=1+3+\mathrm{5...}+\left(2n-1\right)$

Ta thấy $1+\left(2n-1\right)=2n;3+\left(2n-3\right)=2n...;n+\left(2n-n\right)=2n$

⇒�=�2.2�=�2⇒S=2n​.2n=n2

a)n = 1 ⇒ 31 = 3 < 8 = 8.1

n = 2 ⇒ 32 = 9 < 16 = 8.2

n = 3 ⇒ 33 = 27 > 24 = 8.3

n = 4 ⇒ 34 = 81 > 32 = 8.4

n = 5 ⇒ 35 = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3n > 8n với mọi n ≥ 3

- n = 3, bất đẳng thức đúng

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:

3k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3(k + 1) > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3(k + 1) = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8

Suy ra: 3(k + 1) > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long s,i,n;

int main()

{

cin>>n;

s=0;

for (i=1; i<=n; i++)

if (i%2==1) s=s+i*i;

cout<<s;

return 0;

}

Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em chứng minh biểu thức bằng phương pháp quy nạp toán học.

D = 1³ + 2³ + 3³ + ...+n³ (n \(\in\) N*)

D =   \(\left(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\)

Với n = 1 ta có: D = 1³= 1. D = \(\left(\dfrac{\left(1+1\right).1}{2}\right)^2\) = 1  (biểu thức đúng)

Giả sử biểu thức đúng với n = k; k \(\in\) N* tức:

1³ + 2³ + 3³ + ...+ k³ = \(\left(\dfrac{\left(n+1\right)n}{2}\right)^2\) (đúng với ∀ k \(\in\) N*)

Ta cấn chứng minh: biểu thức đúng với n = k + 1; k \(\in\) N*

Nghĩa là: CM 1³ + 2³ +...+ (k+1)³ = \(\left(\dfrac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}{2}\right)^2\)

Thật vậy với n = k + 1 ta có:

D = 1³ + 2³ + 3³ + ....+ (k+1)³  = (1³+ 2³ + 3³ + ...+ k³) + (k+1)³

D = ( \(\dfrac{k\left(k+1\right)}{2}\))² + (k+1)³       =     (k+1)².(\(\dfrac{k^2}{4}\) + (k+1))

D = (k+1)².(\(\dfrac{k^2+4k+4}{4}\))        =      (k+1)². ( \(\dfrac{k+2}{2}\))²

D = \(\left(\dfrac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}{2}\right)^2\)^(đpcm) 

Vậy 1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = \(\left(\dfrac{\left(n+1\right)n}{2^{ }}\right)^2\) (∀ n \(\in\)N*)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long i,n;

double s;

int main()

{

cin>>n;

s=0;

for (i=1; i<=n; i++)

 s=s+((1*1.0)/(2*(i*1.0+1*1.0)));

 cout<<fixed<<setprecision(2)<<s;

return 0;

}

uses crt;

var i,n,s:integer;

begin

clrscr;

write('n='); readln(n);

s:=0;

for i:=1 to n do

if i mod 2=1 then s:=s+i;

writeln('Tong cac so le trong khoang tu 1 toi ',n,' la: ',s);

readln;

end.

Bài 1: 

uses crt;

var n,i:integer;

s:real;

begin

clrscr;

write('Nhap n='); readln(n);

s:=0;

for i:=1 to n do 

  s:=s+1/(2*i+1);

writeln(s:4:2);

readln;

end.

\(u_1=1;u_2=4=2^2;u_3=9=3^2\)

Dự đoán: \(u_n=n^2\)

- Với \(n=1;2;3\) dãy đúng

- Giả sử \(u_k=k^2\)

- Ta cần chứng minh \(u_{k+1}=\left(k+1\right)^2\)

Thật vậy, ta có:

\(u_{k+1}=u_k+2k+1=k^2+2k+1=\left(k+1\right)^2\) (đpcm)

Dự đoán: 3 - 4 = 3 + (-4)

                3 - 5 = 3 + (-5).