a, HS tự chứng minh

b, HS tự chứng minh

c, DAEH vuông nên ta có: KE = KA = 1 2 AH

=> DAKE cân tại K

=>  K A E ^ = K E A ^

DEOC cân  ở O =>  O C E ^ = O E C ^

H là trực tâm => AH  ^ BC

Có  A E K ^ + O E C ^ = H A C ^ + A C O ^ = 90 0

(K tâm ngoại tiếp) => OE ^ KE

d, HS tự làm

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔADC vuông tại D có

góc EAB chung

Do đó:ΔAEB\(\sim\)ΔADC

Suy ra: AE/AD=AB/AC

hay AE/AB=AD/AC

Xét ΔAED và ΔABC có

AE/AB=AD/AC

góc EAD chung

Do đó: ΔAED\(\sim\)ΔABC

Suy ra: AE/AB=ED/BC

hay \(AE\cdot BC=ED\cdot AB\)

b: Xét ΔBDC vuông tại D và ΔBFA vuông tại F có

góc FBA chung

Do đó: ΔBDC\(\sim\)ΔBFA
Suy ra: BD/BF=BC/BA

hay \(BD\cdot BA=BF\cdot BC\)

Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCFA vuông tại F có

góc FCA chung

Do đó: ΔCEB\(\sim\)ΔCFA
Suy ra CE/CF=CB/CA

hay \(CE\cdot CA=CB\cdot CF\)

\(BD\cdot BA+CE\cdot CA=BF\cdot BC+CF\cdot BC=BC^2\)

Sửa đề: BF và CE cắt nhau tại H

a) Xét (O) có 

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

\(\Leftrightarrow CE\perp BE\)

\(\Leftrightarrow CE\perp AB\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AEC}=90^0\)

hay \(\widehat{AEH}=90^0\)

Xét (O) có 

ΔBFC nội tiếp đường tròn(B,F,C\(\in\)(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBFC vuông tại F(Định lí)

\(\Leftrightarrow BF\perp CF\)

\(\Leftrightarrow BF\perp AC\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AFB}=90^0\)

hay \(\widehat{AFH}=90^0\)

Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{AEH}\) và \(\widehat{AFH}\) là hai góc đối

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét ΔABC có 

BF là đường cao ứng với cạnh AC(cmt)

CE là đường cao ứng với cạnh AB(cmt)

BF cắt CE tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Định lí ba đường cao của tam giác)

\(\Leftrightarrow AH\perp BC\)

hay \(AD\perp BC\)(đpcm)

a: Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: AH vuông góc với BC tại D

b:

Xét tứ giác CDFA có góc CDA=góc CFA=90 độ

nên CDFA là tứ giác nội tiếp

=>góc BFD=góc BCA

Xét tứ giác BFEC có góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>góc AFE=góc ACB

Ta có: góc COE=180 độ-2 góc C

góc EFD=180 độ-góc AFE-góc BFD

=180 độ-2 góc C

=>góc COE=góc EFD

=>DOEF là tứ giác nội tiếp

a/ Ta có góc BDC=90 độ ( góc nt chăn nửa đường tròn)

suy ra góc ADH = 90 độ ( kề bù ) 

góc BEC= 90 độ ( góc nt chắn nửa đường tròn) 

suy ra góc AEH = 90 độ ( kề bù )

Tư giác ADHE có góc ADH + góc AEH = 90 độ + 90 độ = 180 độ 

Hại góc ở vị tri đối nhau . Do đó tứ giác ADHE nt đường tròn.

b/

c/Ta có góc BDC = 90 độ ( góc nt chắn nửa đt)

góc BEC = 90 độ ( góc nt chắn 1/2 đt)

Tứ giác BDEC có hai đỉnh kề D và E cùng nhìn BC dưới một góc vuông . Do đó tứ giác BDEC nt 

suy ra góc BDE + góc BCE = 180 độ      (1)

Mặt khác : góc ADE + góc BDE = 180 độ ( kề bù ) (2) 

(1) (2) suy ra góc ADE = góc ACB 

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có 

goc BAC chung 

goc ADE = góc BAC (cmt)

suy ra tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB (g.g)

nên AD/AC = AE/AB

hay AD.AB =AE.AC.

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EC tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC