Tham khảo:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\), ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{OAD}} = \frac{1}{2}.OA.OD.\sin \alpha ;\quad {S_{OBC}} = \frac{1}{2}.OB.OC.\sin \alpha ;\\{S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin ({180^o} - \alpha );\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin ({180^o} - \alpha ).\end{array}\)

Mà \(\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \)

\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin \alpha ;\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin \alpha .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \left( {{S_{OAD}} + {S_{OAB}}} \right) + \left( {{S_{OBC}} + {S_{OCD}}} \right)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .(OD + OB) + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .(OB + OD)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .BD + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .BD\\ = \frac{1}{2}.BD.\sin \alpha .(OA + OC)\\ = \frac{1}{2}.AC.BD.\sin \alpha  = \frac{1}{2}.x.y.\sin \alpha .\end{array}\)

b) Nếu \(AC \bot BD\) thì \(\alpha  = {90^o} \Rightarrow \sin \alpha  = 1.\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.x.y.1 = \frac{1}{2}.x.y.\)

Làm như sau :

Kẻ AH vg BD ; CK vg BD 

Sabd = 1/2.AH.BD (1)

Sbcd = 1/2.CK.BD (2)

từ (1) và (2) => Sabcd= Sabd + Sbcd = 1/2BD ( AH+CK) (*)

Tam giác AHO vuông tại H , theo tỉ số lượng giác giữa cạnh và góc

=> AH = OA . sin AOH (3)

Tương tự CK = OC.sin BOC (4)

Mà BOC = AOH => sin BOC = sin AOH  (5)

Từ (3) và (4) và (5) => AH + CK = sin AOH ( OA + OC ) = AC .sin AOH  (**)

Từ (*) và (**) => cái cần phải CM

Giả sử hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I, ∠ (AIB) = α  là góc nhọn (xem h.bs.9)

Kẻ đường cao AH của tam giác ABD và đường cao CK của tam giác CBD.

Ta có: AH = AI.sin α , CK = CI.sin α

Diện tích tam giác ABD là  S A B D  = 1/2 BD.AH.

Diện tích tam giác CBD là  S C B D  = 1/2 BD.CK.

Từ đó diện tích S của tứ giác ABCD là:

S = S A B D + S C B D  = 1/2BD.(AH + CK)

= 1/2 BD.(AI + CI)sin α  = 1/2BD.AC.sin α

Xét ΔOAD và ΔOCB có

\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)

OA=OC

\(\widehat{AOD}=\widehat{COB}\)

Do đó: ΔOAD=ΔOCB

=>AD=BC

\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

nên AD//BC

Xét tứ giác ABCD có

AD//BC

AD=BC

Do đó: ABCD là hình bình hành