Câu 31: Cho cấp số nhân (Un) với công bội q thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5=-165\\u_2+u_6=-492\end{matrix}\right.\) Khi đó, giá trị u1 -q bằng:
tính số hạng đầu và công bội q của 1 cấp số nhân biết
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_5-u_1=15\\u_4-u_2=6\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_3+u_5=65\\u_1+u_7=325\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4+u_6=-540\\u_2+u_4=-60\end{matrix}\right.\)
a:
ĐKXĐ: \(q\notin\left\{0;1;-1\right\}\)
\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1\cdot q^4-u1=15\\u1\cdot q^3-u1\cdot q=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^4-1}{q^3-q}=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2q^4-2=5q^3-5q\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2q^4-5q^3+5q-2=0\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(q-2\right)\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(2q-1\right)=0\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)
TH1: q=2
=>\(u1=\dfrac{15}{2^4-1}=\dfrac{15}{15}=1\)
TH2: q=1/2
=>\(u1=\dfrac{15}{\dfrac{1}{16}-1}=15:\dfrac{-15}{16}=-16\)
b:
\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1-u1\cdot q^2+u1\cdot q^4=65\\u1+u1\cdot q^6=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^4-q^2+1}{q^6+1}=\dfrac{1}{5}\\u1\left(1+q^6\right)=325\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{q^2+1}=\dfrac{1}{5}\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q^2=4\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}q\in\left\{2;-2\right\}\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow u1=\dfrac{325}{65}=5\)
c: \(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1\cdot q^3+u1\cdot q^5=-540\\u1\cdot q+u1\cdot q^3=-60\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^5+q^3}{q^3+q}=9\\u1\left(q+q^3\right)=-60\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q^2=9\\u1\left(q+q^3\right)=-60\end{matrix}\right.\)
TH1: q=3
\(u1=-\dfrac{60}{3+3^3}=-\dfrac{60}{30}=-2\)
TH2: q=-3
=>\(u1=-\dfrac{60}{-3-27}=\dfrac{60}{30}=2\)
tính số hạng đầu và công bội q của 1 cấp số nhân biết
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_5=96\\u_7=384\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4-u_2=25\\u_3-u_1=50\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4+u_6=-540\\u_2+u_4=-60\end{matrix}\right.\)
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_5=96\\u_7=384\end{matrix}\right.\)
\(u^2_6=u_5.u_7=96.384=36864\)
\(\Leftrightarrow u_6=192\)
\(q=\dfrac{u_7}{u_6}=\dfrac{384}{192}=2\)
\(u_5=u_1.q^4\)
\(\Leftrightarrow u_1=\dfrac{u_5}{q^4}=\dfrac{96}{2^4}=6\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4-u_2=25\\u_3-u_1=50\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1.q^3-u_1.q=25\\u_1.q^2-u_1=50\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1.q\left(q^2-1\right)=25\left(1\right)\\u_1.\left(q^2-1\right)=50\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right):\left(2\right)\Leftrightarrow q=\dfrac{25}{50}=\dfrac{1}{2}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow u_1=\dfrac{50}{q^2-1}=\dfrac{50}{\dfrac{1}{4}-1}=-\dfrac{200}{3}\)
Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left(u_n\right)\) biết :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_5-u_1=15\\u_4-u_2=6\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_2-u_4+u_5=10\\u_3-u_5+u_6=20\end{matrix}\right.\)
Gọi số hạng đầu và công bội của cấp số nhân là: \(u_1;q\).
a) Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1q^4-u_1=15\\u_1q^3-u_1q=6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{u_1\left(q^4-1\right)}{u_1\left(q^3-q\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)}{q\left(q^2-1\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{q^2+1}{q}=\dfrac{15}{6}\)
\(\Leftrightarrow6\left(q^2+1\right)=15q\)\(\Leftrightarrow6q^2-15q+6=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\).
Với \(q=2\).
Suy ra: \(u_1\left(q^4-q\right)=15\Rightarrow u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{15}{14}\).
Với \(q=\dfrac{1}{2}\)
Suy ra \(u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{-240}{7}\).
Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội q của các cấp số nhân \(\left(u_n\right)\), biết :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_6=192\\u_7=384\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4-u_2=72\\u_5-u_3=144\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}u_2+u_5-u_4=10\\u_3+u_6-u_5=20\end{matrix}\right.\)
a)
{u6=192u7=384⇔{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2){u6=192u7=384⇔{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2)
Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1):
(1) ⇔ u1.25 = 192 ⇔ u1 = 6
Vậy u1 = 6 và q = 2
b) Ta có:
{u4−u2=72u5−u3=144⇔{u1.q3−u1.q=72u1.q4−u1.q2=144⇔{u1.q(q2−1)=72(1)u1.q2(q2−1)=144(2){u4−u2=72u5−u3=144⇔{u1.q3−u1.q=72u1.q4−u1.q2=144⇔{u1.q(q2−1)=72(1)u1.q2(q2−1)=144(2)
Lấy 2 chia 1: q = 2 thế vào (1)
(1) ⇔2u1(4 – 1) = 72 ⇔ u1 = 12
Vậy u1 = 12 và q = 2
c) Ta có:
{u2+u5−u4=10u3+u6−u5=20⇔{u1.q+u1.q4−u1.q3=10u1.q2(q2−1)=144(2)⇔{u1q(1+q3−q2)=10(1)u1q(1+q3−q2)=20(2){u2+u5−u4=10u3+u6−u5=20⇔{u1.q+u1.q4−u1.q3=10u1.q2(q2−1)=144(2)⇔{u1q(1+q3−q2)=10(1)u1q(1+q3−q2)=20(2)
Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1)
(1) ⇔ 2u1 (1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u1 = 1
Vậy u1 = 1 và q = 2
tính số hạng đầu \(u_1\) và công sai d của 1 cấp số cộng biết
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1-2u_4+u_6=12\\u_2+u_5=8\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_5-u_2=3\\u_8.u_3=24\end{matrix}\right.\)
a: u1-2u4+u6=12 và u2+u5=8
=>u1-2u1-6d+u1+5d=12 và u1+d+u1+4d=8
=>d=12 và 2u1+5d=8
=>d=12 và 2u1=8-5d=8-60=-52
=>u1=-26 và d=12
b: u5-u2=3 và u3*u8=24
=>u1+4d-u1-d=3 và (u1+2d)(u1+7d)=24
=>d=1 và (u1+2)(u1+7)=24
=>d=1 và u1^2+9u1-10=0
=>d=1 và (u1=-10 hoặc u1=1)
tính số hạng đầu \(u_1\) và công sai d của 1 cấp số cộng biết
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_4=4\\u_6=8\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_3+u_5=10\\u_1+u_6=17\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_2=5\\u_3u_5=91\end{matrix}\right.\)
a: u4=4 và u6=8
=>u1+3d=4 và u1+5d=8
=>-2d=-4 và u1+3d=4
=>d=2 và u1=4-3d=-2
b: u1-u3+u5=10 và u1+u6=17
=>u1-u1-2d+u1+4d=10 và u1+u1+5d=17
=>u1+2d=10 và 2u1+5d=17
=>u1=16 và d=-3
c: u1+u2=5 và u3*u5=91
=>u1+u1+d=5 và (u1+2d)(u1+4d)=91
=>2u1+d=5 và (u1+2d)(u1+4d)=91
=>d=5-2u1 và (u1+10-4u1)(u1+20-8u1)=91
=>d=5-2u1 và (-3u1+10)(-7u1+20)=91
(-3u1+10)(-7u1+20)=91
=>21u1^2-60u1-70u1+200=91
=>21u1^2-130u1+109=0
=>u1=1 hoặc u1=109/21
Khi u1=1 thì d=5-2u1=5-2=3
Khi u1=109/21 thì d=5-2u1=5-218/21=-113/21
\(\left\{{}\begin{matrix}U_1+U_5=51\\U_2+U_6=102\end{matrix}\right.\)
a) U1 ?,q ?
b) tổng bao nhiêu số hạng đầu = 3069
c) 12288 la SH thứ mấy
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5=51\\u_2+u_6=102\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5=51\\u_1q+u_5q=102\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_5=51\left(1\right)\\q\left(u_1+u_5\right)=102\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Chia (1) cho (2) vế theo vế ta có:
\(\dfrac{1}{q}=\dfrac{51}{102}\Rightarrow q=2\) \(\Rightarrow u_1+u_5=51\Leftrightarrow u_1+u_1q^4=51\Leftrightarrow u_1\left(1+2^4\right)=51\Rightarrow u_1=3\)
b. Ta có: \(S_n=\dfrac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}=\dfrac{3\left(2^n-1\right)}{2-1}=3069\)
\(\Leftrightarrow3.2^n-3=3069\Leftrightarrow2^n=1024=2^{10}\Rightarrow n=10\)
Vậy 3069 là tổng của 10 số hạng đầu tiên
c. Ta có: \(u_n=u_1q^{n-1}\Leftrightarrow12288=3.2^{n-1}\Leftrightarrow4069=2^{n-1}=2^{12}\Rightarrow n-1=12\Leftrightarrow n=13\)
Vậy 12288 là số hạng thứ 13
Lời giải:
\(PT \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1+u_1q^4=51\\ u_1q+u_1q^5=102\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_1(1+q^4)=51\\ u_1q(1+q^4)=102\end{matrix}\right.\Rightarrow q=\frac{102}{51}=2\)
\(u_1=\frac{51}{q^4+1}=\frac{51}{2^4+1}=3\)
b. \(u_1+u_2+...+u_n=3069\)
$\Leftrightarrow u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})=3069$
$\Leftrightarrow 1+2+2^2+...+2^{n-1}=1023$
$\Leftrightarrow 2^n-1=1023\Leftrightarrow 2^n=1024=2^{10}\Rightarrow n=10$
Vậy tổng của 10 số hạng đầu bằng $3069$
c.
Giả sử $12288$ là số hạng thứ $n$. Khi đó nó có dạng $u_1q^{n-1}=3.2^{n-1}$
$\Leftrightarrow 2^{n-1}=4096=2^{12}\Rightarrow n=13$
a,\(\left\{{}\begin{matrix}U_1+U_5=51\\U_2+U_6=102\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}U_1\left(1+q^4\right)=51\left(1\right)\\U_2\left(1+q^4\right)=102\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\left(2\right)}{\left(1\right)}=\dfrac{U_2\left(1+q^4\right)}{U_1\left(1+q^4\right)}=\dfrac{102}{51}\Leftrightarrow q=2\)
\(q=2\Rightarrow U_1=\dfrac{51}{1+q^4}=\dfrac{51}{1+24}=3\)
b, \(S_{10}=U_1.\dfrac{1-q^{10}}{1-q}=3.\dfrac{1-2^{10}}{1-2}=3069\)
c, \(V_n=3.2^{\left(n-1\right)}=12288\)
\(2^{\left(n-1\right)}=4096\)
\(\Leftrightarrow n-1=12\Rightarrow n=13\)
=> số thứ 13.
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau biết :
a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_3+u_5=10\\u_1+u_6=17\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}u_7-u_3=8\\u_2.u_7=75\end{matrix}\right.\)
a) Từ hệ thức đã cho ta có:
hay
.Giải hệ này tìm u1 và d. Đáp số u1 = 16, d = -3.
b) Từ hệ đã cho ta có:
hay
Giải hệ này để tìm u1 và d. Đáp số u1 = 3 và d = 2 hoặc u1 = -17 và d = 2
u1 = 3 và d = 2 hoặc u1 = -17 và d = 2.
Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right.\);
b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 72\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right.\).
a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 96\\{u_6} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\{u_1}.{q^5} = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\\left( {{u_1}.{q^4}} \right).q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^4} = 96\\96q = 192\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 6\end{array} \right.\)
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 6\) và công bội \(q = 2\).
b)
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_2} = 60\\{u_5} - {u_3} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} + {u_1}.q = 60\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {{q^2} + 1} \right) = 60\left( 1 \right)\\{u_1}.{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Do \({u_1} = 0\) và \(q = 0\) không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được:
\(\frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} = \frac{{144}}{{60}} \Leftrightarrow \frac{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{q^2} + 1}} =\frac{{12}}{{5}} \Leftrightarrow 5q\left( {{q^2} - 1} \right) = 12\left( {{q^2} + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow 5{q^3} - 12q = 5{q^2} + 12 \Leftrightarrow 5{q^3} - 12{q^2} - 5q - 12 = 0 \Leftrightarrow q=3\) thế vào (1) ta được \({u_1}=2\).
Vậy cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công bội \(q = 3\).