Cho PT : \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2=0\)
a) Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Phương trình có 2 nghiệm pb khi:
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2>0\Leftrightarrow2m+1>0\)
\(\Rightarrow m>-\dfrac{1}{2}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_1+x_2-2}{2}=m\\x_1x_2=m^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1x_2=\left(\dfrac{x_1+x_2-2}{2}\right)^2\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
a,Phương trình có 2 nghiệm pb khi: \(\Delta'>0\Rightarrow\left(m+1\right)^2-m^2>0\Leftrightarrow2m+1>0\Leftrightarrow m>\dfrac{-1}{2}\)
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của PT không phụ thuộc vào m \(x^2-2\left(m-3\right)x-m^2+1=0\)
giúp mình với .
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-3\right)\\x_1.x_2=-m^2+1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-6\\1-x_1.x_2=m^2\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-6\\2\sqrt{1-x_1.x_2}=2m\end{cases}\Rightarrow}\left(x_1+x_2\right)-2\sqrt{1-x_1.x_2}+6=0}\)
cho pt \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+1=0\)
Tìm hột hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc và m
ĐK; m\(\ne1\)
Đen-ta\(=4m^2-4m^2+4=4>0.\)
vậy pt có 2 nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức vi-et:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m}{m-1}=\frac{2m-2+2}{m-1}=2+\frac{2}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}\end{cases}}\)
\(x_1+x_2-x_1x_2=1\)
vậy nghiệm của pt không phụ thuộc m
Học tốt
cho PT \(x^2-2\left(m-1\right)x-m=0\)
a) tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m
b) tìm m để Pt có đúng 1 nghiệm âm
c) tìm m để PT có 2 nghiệm = nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau
d) tìm m để \(\left|x_1-x_2\right|nhỏnhất\)
a: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)\)
\(=\left(2m-2\right)^2+4m\)
\(=4m^2-8m+4+4m=4m^2-4m+4\)
\(=4m^2-4m+1+3=\left(2m-1\right)^2+3>0\forall m\)
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left[-2\left(m-1\right)\right]}{1}=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{m}{1}=-m\end{matrix}\right.\)
\(x_1+x_2+2x_1x_2=2m-2+\left(-2m\right)=-2\)
=>\(x_1+x_2+2\cdot x_1\cdot x_2\) là hệ thức không phụ thuộc vào m
b: Để phương trình có đúng 1 nghiệm âm thì nghiệm còn lại sẽ lớn hơn hoặc bằng 0
=>a*c<=0
=>1*(-m)<=0
=>-m<=0
=>m>=0
c: Để \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x_1\right|=\left|x_2\right|\\x_1\cdot x_2< 0\end{matrix}\right.\) thì \(x_1=-x_2\)
=>\(x_1+x_2=0\)
=>2(m-1)=0
=>m-1=0
=>m=1
d: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{\left(2m-2\right)^2-4\cdot1\left(-m\right)}\)
\(=\sqrt{4m^2-8m+4+4m}\)
\(=\sqrt{4m^2-4m+4}\)
\(=\sqrt{\left(2m-1\right)^2+3}>=\sqrt{3}\forall m\)
Dấu '=' xảy ra khi 2m-1=0
=>\(m=\dfrac{1}{2}\)
Cho pt bậc hai ẩn x: x2 - 2mx + 2m - 2 = 0 (1)
a) Giải pt (1) khi m = 0, m = 1.
b) Chứng minh pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ϵ R.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
d) Biết x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Tìm m để x12 + x22 = 4.
e) Tìm m để I = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
a: Khim=0 thì (1) trở thành \(x^2-2=0\)
hay \(x\in\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\right\}\)
Khi m=1 thì (1) trở thành \(x^2-2x=0\)
=>x=0 hoặc x=2
b: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-2\right)\)
\(=4m^2-8m+8=4\left(m-1\right)^2>=0\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm
Cho2 -2(m-1)x-m-3=0
a) Giải pt với m=-3
b) Tìm m để pt có hai nghệm thõa mãn hệ thức x1^2+x2^2=10
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m
a)Với m=-3
\(pt\Leftrightarrow2\left(4x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\)
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm trong phương trình:
\(\left(m^2+1\right)x^2-2\left(m^2-1\right)x+m=0\)
Để pt k phụ thuộc vào m
bài 12:
Cho pt: (m+1)x2-2(m+2)x+m-3=0
tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm ko phụ thuộc vào m
Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm thì trước hết đây phải là pt bậc 2. Nghĩa là $m+1\neq 0\Leftrightarrow m\neq -1$
Với $m\neq -1$, để pt có 2 nghiệm thì:
$\Delta'=(m+2)^2-(m-3)(m+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow m^2+4m+4-(m^2-2m-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow 6m+7\geq 0$
$\Leftrightarrow m\geq \frac{-7}{6}$
Áp dụng hệ thức Viet:
$x_1+x_2=\frac{2(m+2)}{m+1}=\frac{2m+4}{m+1}$
$x_1x_2=\frac{m-3}{m+1}$
$x_1+x_2+kx_1x_2=\frac{2m+4+k(m-3)}{m+1}=\frac{m(k+2)+(4-3k)}{m+1}$
Để hệ thức không phụ thuộc vào m thì $m(k+2)+(4-3k)$ có thể phân tích dưới dạng $t(m+1)$
Tức là: $k+2=4-3k$
$\Leftrightarrow k=\frac{1}{2}$
Khi đó: $x_1+x_2+\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{\frac{5}{2}(m+1)}{m+1}=\frac{5}{2}$
Đây chính là hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ không phụ thuộc $m$
Cho pt (m-1)x2-2mx+m+1=0
a, CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m khác 1
b, Xác định m để pt có tích 2 nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng các nghiệm của pt
c, Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc vào m
d, Tìm m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn x1/x2 + x2/x1 + 5/2 = 0
Với \(m\ne1\):
a. \(\Delta'=m^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)=1>0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb khi \(m\ne1\)
b. Theo hệ thức Viet: \(x_1x_2=\dfrac{m+1}{m-1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{m+1}{m-1}=5\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\)
Khi đó: \(x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}=\dfrac{2.\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-1}=6\)
c. \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{m-1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2+\dfrac{2}{m-1}\\x_1x_2=1+\dfrac{2}{m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1+x_2-x_1x_2=1\)
Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m
d. \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{5}{2}=0\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}+\dfrac{5}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+\dfrac{1}{2}x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4m^2}{\left(m-1\right)^2}+\dfrac{m+1}{2\left(m-1\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow8m^2+\left(m^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m^2=\dfrac{1}{9}\Rightarrow m=\pm\dfrac{1}{3}\)