a) Ta có f(x) - 5 \(⋮\)x + 1 

=> x³ + mx² + nx + 2 - 5 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx² + nx  - 3 \(⋮\)x + 1

=> x = - 1 là nghiệm đa thức 

Khi đó (-1)³ + m(-1)² + n(-1) - 3 = 0

<=> m - n = 4 (1) 

Tương tự ta được f(x) - 8 \(⋮\)x + 2 

=> x³ + mx² + nx - 6 \(⋮\) x + 2

=> x = -2 là nghiệm đa thức

=> (-2)³ + m(-2)² + n(-2) - 6 = 0

<=> 2m - n = 7 (2) 

Từ (1)(2) => HPT \(\left\{{}\begin{matrix}m-n=4\\2m-n=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức đó là f(x) = x³ + 3x² - x + 2  

b)  f(x) - 7 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx + n - 7 \(⋮\) x + 1 

=> x = -1 là nghiệm đa thức 

=> (-1)³ + m(-1) + n - 7 = 0

<=> -m + n = 8 (1) 

Tương tự ta được : x³ + mx + n + 5 \(⋮\)x - 3 

=> x = 3 là nghiệm đa thức 

=> 3³ + 3m + n + 5 = 0

<=> 3m + n = -32 (2) 

Từ (1)(2) => HPT : \(\left\{{}\begin{matrix}3m+n=-32\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=-40\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-10\\n=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy f(x) = x³ - 10x -2

* Với x=-3 ta có:

(-3+3) . f(-3-2) = (1+3) . f(-3+5)

=> 0.f(-5) = 4.f(2)

=> 0=4.f(2)

=> f(2)=0

=> -3 là nghiệm của đa thức f(x). (1)

* Với x= 1 ta có:

(1+3) . f(1-2) = (1-1) . f(1+5)

=> 4.f(-1) = 0.f(6)

=> 4.f(-1) = 0

=> f(-1) =0

=> x=1 là nghiệm của đa thức f(x). (2)

Từ (1) và (2) => đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm

a)f(0) = 0² - 4.0 + 3= 0 - 0 + 3 = 3

f(1) = 1² - 4.1 +3 = 1 - 4 +3 = 0

f(-1) = (-1)² - 4.(-1) +3 = 1 - (-4) +3 = 8

f(3)= 3² - 4.3 +3 = 9 - 12 + 3 = 0

vậy giá trị 1 và 3 là nghiệm của đa thức f(x)

b)thay x = -1 vào đa thức N(x) ta được:

N(x) = a. (-1)³ - 2a.(-1) - 3 = 0

\(\Leftrightarrow\) a. (-1) - 2a.(-1) = 3

\(\Leftrightarrow\) (- a) + 2a = 3 \(\Rightarrow\) a = 3

Hướng dẫn:

a, Bạn thay xem số nào thì f(x) = 0 thì số đó là nghiệm

hoặc có thể tìm x với f(x) = 0 rồi chọn số

b, thay x = -1 là nghiệm của N(x) ta có:

\(-a+2a-3=0\Rightarrow a=3\)

Vậy a = 3

a)f(0)=0²-4.0+3=0-0+3=3

f(1)=1²-4.1+3=1-4+3=0

f(-1)=(-1)²-4.(-1)+3=1+4+3=8

f(3)=3²-4.3+3=9-12+3=0

b)

a.(-1)³-2a.(-1)-3=0

-a+2a-3=0

a-3=0

a=3

600000000<1

Cho mình xin cách làm đi

Nó là định lí Bézout đấy bạn ^^

Định lí Bézout : Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a)

Chứng minh : Theo định lí cơ bản ta có : f(x) = ( x - a ).P(x) + R(x) (1)

Ở đây, g(x) = x - a có bậc là bậc nhất mà bậc của dư R(x) phải nhỏ hơn bậc của g(x), vậy R(x) phải là một hằng số, thay x = a trong đẳng thức (1) ta có : f(a) = ( a - a ).P(a) + R => R = f(a)

Hệ quả : Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a

Ta dùng hệ quả của định lí Bézout để phân tích đa thức thành nhân tử khi đã biết một nghiệm

Bài 3: 

a) Đặt f(x)=0

\(\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

b) Đặt f(x)=0

\(\Leftrightarrow x^2-7x+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=4\end{matrix}\right.\)

Bài 3:

c) Đặt f(x)=0

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+1=0\)

hay x=-1

d) Đặt f(x)=0

\(\Leftrightarrow x^4+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^4=-2\)(Vô lý)