Điều kiện:

⇔ tan x.(1 - tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x - tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x - 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx - 3) = 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:

{arctan 3+kπ; k ∈ Z }

\(\Leftrightarrow2x=x-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) (\(k\in Z\))

Chọn A

a) \(\tan x = 1 \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

b) \(\tan x = \tan {67^ \circ } \Leftrightarrow x = {67^ \circ } + k{.180^ \circ }\)

\(sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)+cos\left(x-\pi\right)+tan\left(\dfrac{5\pi}{2}-x\right)+tan\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(=-sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+cos\left(\pi-x\right)+tan\left(2\pi+\dfrac{\pi}{2}-x\right)-tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)

\(=-cosx-cosx+tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-cotx\)

\(=-2cosx+cotx-cotx=-2cosx\)

a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1 ⇔ = 1.

Với điều kiện cos(2x + 1)cos(3x - 1) ≠ 0 phương trình tương đương với

cos(2x + 1)cos(3x - 1) - sin(2x + 1)sin(3x - 1) = 0

⇔ cos(2x + 1 + 3x - 1) = 0 ⇔ 5x = + k π ⇔ x = + , k ∈ Z.

Cần chọn các k nguyên để x = + không thỏa mãn điều kiện của phương trình (để loại bỏ). Điều này chỉ xảy ra trong các trường hợp sau:

(i) x = + làm cho cos(2x + 1) = 0, tức là

cos[2( + ) + 1] = 0 ⇔ + 1 = + lπ, (l ∈ Z)

⇔ π( - ) = 1 ⇔ π = , suy ra π ∈ Q, vô lí.

Vì vậy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(2x + 1) = 0.

(ii) x = + làm cho cos(3x - 1) = 0. Tương tự (i),ta cũng thấy không có k nguyên nào để x = + làm cho cos(3x - 1) = 0.

Vậy ∀ k ∈ Z, x = + đều là nghiệm của phương trình đã cho.

b)Đặt t = tan x, phương trình trở thành

t + = 1 ⇔ -t^{2 +} 3t = 0 (điều kiện t ≠ 1) ⇔ t = 0 hoặc t = 3 (thỏa mãn)

Vậy tan x = 0 ⇔ x = kπ

tan x = 3 ⇔ x = arctan 3 + kπ (k ∈ Z)

a.

\(\left(sin^2\dfrac{x}{2}+cos^2\dfrac{x}{2}\right)^2-2sin^2\dfrac{x}{2}cos^2\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2-\left(2sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow1-sin^2x=0\)

\(\Leftrightarrow cos^2x=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

b.

\(\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)=\dfrac{7}{16}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{4}\left(2sinx.cosx\right)^2=\dfrac{7}{16}\)

\(\Leftrightarrow16-12.sin^22x=7\)

\(\Leftrightarrow3-4sin^22x=0\)

\(\Leftrightarrow3-2\left(1-cos4x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cos4x=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow4x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\)

c.

\(\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)=cos^22x+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{4}\left(2sinx.cosx\right)^2=cos^22x+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow3-3sin^22x=4cos^22x\)

\(\Leftrightarrow3=3\left(sin^22x+cos^22x\right)+cos^22x\)

\(\Leftrightarrow3=3+cos^22x\)

\(\Leftrightarrow cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\)