a. Xét \(\Delta OAB:\)\(AB^2=2R^2\)

\(OA^2+OB^2=R^2+R^2=2R^2\)

Vậy \(\Delta OAB\) vuông tại O.

\(\Rightarrow l_{\stackrel\frown{AB}}=\frac{\pi R.90}{180}=\frac{1}{2}\pi R\)

Có: \(l_{\stackrel\frown{BC}}=l_{\stackrel\frown{AC}}-l_{\stackrel\frown{AB}}\)\(=\frac{\pi R.120}{180}-\frac{1}{2}\pi R\)\(=\frac{1}{6}\pi R\)

c.Ace Legona, Nguyễn Việt Lâm tính giùm mk.

\(\widehat{AOC}=120^0\Rightarrow\widehat{AOH}=60^0\)

\(\Rightarrow AH=OA.sin\widehat{AOH}=R.sin60^0=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow AC=2AH=R\sqrt{3}\)

\(\widehat{BOC}=\widehat{AOC}-\widehat{AOB}=30^0\)

Kẻ \(CP\perp OB\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CP=OC.sin\widehat{POC}=R.sin30^0=\frac{R}{2}\\OP=OC.cos\widehat{POC}=R.cos30^0=\frac{R\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(BP=OB-OP=R-\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R\left(2-\sqrt{3}\right)}{2}\)

Áp dụng Pitago cho tam giác BCP:

\(BC=\sqrt{BP^2+CP^2}=R\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

Ace Legona, Rồng Đom Đóm, Nguyen, Nguyễn Thành Trương, Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Nguyễn Thị Thảo Vy, Lê Anh Duy, Y, Nguyễn Huy Thắng, Khôi Bùi , Bonking, Ribi Nkok Ngok, Nguyễn Việt Lâm, svtkvtm, Akai Haruma, Mysterious Person, @Phùng Khánh Linh, ...

a) Vì AD // BC

=> A + B = 180^o (trong cùng phía)

mà A - B = 20^o

=> A = (180^o + 20^o) : 2 = 100^o

=> B = 100^o - 20^o = 80^o

Vì AD // BC

=> C + D = 180^o

mà D = 2C

=> D là 2 phần thì C là một phần

=> D = 180^o : (2 + 1) . 2 = 120^o

=> C = 120^o : 2 = 60^o

b) Vì AB // CD

=> A + D = 180^o

mà A = D : 3

=> D = 3A

=> D là 3 phần thì A là 1 phần

=> D = 180^o : (3 + 1) . 3 = 135^o

=> A = 135^o : 3 = 45^o

Vì AB // CD

=> B + C = 180^o

mà B - C = 50^o

=> B = (180^o + 50^o) : 2 = 115^o

=> C = 115^o - 50^o = 65^o

c, Do KC // AE 

\(\Rightarrow\)CM // AE

Ta có DF = DA = DE ( \(\Delta DAE.cân.ở.D\) )

\(\Rightarrow\Delta ADF\) cân ở D mà DC là đường cao ứng với đáy

\(\Rightarrow\) AC = CF

Mà CM // AE

\(\Rightarrow\) CM là đường TB 

\(\Rightarrow ME=MF\) 

\(\Delta AED\) cân ở D. BD là đường cao

 \(\Rightarrow\) BD là trung tuyến

\(\Rightarrow\) BA = BE

mà ME = MF

\(\Rightarrow\) BM là đường TB ứng vớ cạnh đáy AF

\(\Rightarrow\) BM // AF ; BM // AC

Vì \(\stackrel\frown{BA}=\stackrel\frown{BC}\Rightarrow BO\perp AC\) 

Mà BM // AC

\(\Rightarrow BO\perp BM\) 

\(\Rightarrow\) BM là tiếp tuyến đường tròn tâm O đường kính AD

Ta có hình vẽ sau:

Câu này hơi bị khó đấy.

b) Do \(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{CN}\) (theo câu a) => \(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\)

Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{MOC}=\widehat{AOC}=90^o\) => \(\widehat{NOC}+\widehat{MOC}=\widehat{MON}=90^o\)

Xét ΔOMN và ΔOAC có: \(\widehat{MON}=\widehat{AOC}=90^o\)

                                         OA = OM (=bán kính nửa đường tròn)

                                          OC = ON (=bán kính nửa đường tròn)

=> ΔOMN = ΔOAC (c.g.c) => MN = AC (2 cạnh tương ứng)

CMTT => ΔOMN = ΔOBC => MN = BC (2 cạnh tương ứng)

=> MN = AC = BC

a) Xét (O) có

M là một điểm nằm trên cung \(\stackrel\frown{CA}\)(gt)

nên \(sđ\stackrel\frown{CM}+sđ\stackrel\frown{MA}=sđ\stackrel\frown{CA}\)(1)

Xét (O) có 

N là một điểm nằm trên cung \(\stackrel\frown{CB}\)(gt)

nên \(sđ\stackrel\frown{CN}+sđ\stackrel\frown{NB}=sđ\stackrel\frown{CB}\)(2)

Xét (O) có AB là đường kính(gt)

nên O là trung điểm của AB

Xét ΔCAB có

CO là đường cao ứng với cạnh AB(gt)

CO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(O là trung điểm của AB)

Do đó: ΔCAB cân tại C(Định lí tam giác cân)

⇒CA=CB

⇒\(sđ\stackrel\frown{CA}=sđ\stackrel\frown{CB}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(sđ\stackrel\frown{CM}+sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{CN}+sđ\stackrel\frown{NB}\)

mà \(sđ\stackrel\frown{CM}=sđ\stackrel\frown{BN}\)(gt)

nên \(sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{CN}\)

hay \(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{CN}\)(đpcm)

Xét (O) có

AM là dây cung(A,M∈(O))

CN là dây cung(C,N∈(O))

\(\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{CN}\)(cmt)

Do đó: AM=CN(Liên hệ giữa cung và dây)