Chứng minh với O là tâm đa giác đều \(A_1A_2...A_n\) thì \(\overrightarrow{OA_1}+...+\overrightarrow{OA_n}=\overrightarrow{0}\)
cho n giác đều A1A2.......An
có tâm là 0 (n\(\ge\) 0) CMR:
\(\overrightarrow{OA_1}\)+\(\overrightarrow{OA_2}\) +......+\(\overrightarrow{OA_n}\) =\(\overrightarrow{0}\)
Cho lục giác đều $A B C D E F$ tâm $O$. Chứng minh: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}+\overrightarrow{O F}=\overrightarrow{0}$.
Cho đa giác lồi A1A2...An ; \(\overrightarrow{e_i}\) \(\left(1\le i\le n\right)\) là vecto đơn vị vuông góc với \(\overrightarrow{A_iA_{i+1}}\) (xem \(A_{n+1}\equiv A_1\)) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng \(A_1A_2\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_nA_1\overrightarrow{e_n}=\overrightarrow{0}\)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp : Giả sử đẳng thức đúng với đa giác (n-1) cạnh.
Gọi \(\overrightarrow{e}\) là vecto đơn vị vuông góc với \(A_1A_{n-1}\) và hướng ngoài tam giác \(A_1A_{n-1}A_n\)
Ta dễ dàng chứng minh được \(A_nA_1.\overrightarrow{e_n}+A_1A_{n-1}.\overrightarrow{e}+A_{n-1}.A_n.\overrightarrow{e_{n-1}}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow A_nA_1\overrightarrow{e_n}+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}=-\overrightarrow{e}A_1A_{n-1}\)Giả sử đẳng thức đúng với n-1 , tức \(A_1A_2.\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}=\overrightarrow{0}\)
Từ giả thiết quy nạp ta có
\(A_1A_2.\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}-A_1A_{n-1}\overrightarrow{e}=\overrightarrow{0}\)
\(A_1A_2.\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}+A_nA_1\overrightarrow{e_n}+A_{n-1}A_n\overrightarrow{e_{n-1}}=\overrightarrow{0}\)(đpcm)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) thì G là trọng tâm của tam giác ABC ?
Ta đã biết nếu G' là trọng tâm tam giác ABC thì:
\(\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\).
Gỉa sử có điểm G thỏa mãn: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).
Ta sẽ chứng minh \(G\equiv G'\).
Thật vậy:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A}+\overrightarrow{G'B}+\overrightarrow{G'C}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}\).
Vậy \(G\equiv G'\).
Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \)
b) Tìm tọa độ của H.
c) Giải tam giác ABC.
a) \( AH \bot BC\) và \(BH \bot CA\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0\) . Do đó \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \)
Tương tự suy ra \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \).
b) Gọi H có tọa độ (x; y)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 1);y - 2) = (x + 1;y - 2)\\\overrightarrow {BH} = (x - 8;y - ( - 1)) = (x - 8;y + 1)\end{array} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BC} = (8 - 8;8 - ( - 1)) = (0;9)\)
\((x + 1).0 + (y - 2).9 = 0 \Leftrightarrow 9.(y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2.\)
Lại có: \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {CA} = ( - 1 - 8;2 - 8) = ( - 9; - 6)\)
\(\begin{array}{l}(x - 8).( - 9) + (y + 1).( - 6) = 0\\ \Leftrightarrow - 9x + 72 + 3.( - 6) = 0\\ \Leftrightarrow - 9x + 54 = 0\\ \Leftrightarrow x = 6.\end{array}\)
Vậy H có tọa độ (6; 2)
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (8 - ( - 1); - 1 - 2) = (9; - 3)\)\( \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{9^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt {10} \)
Và \(\overrightarrow {BC} = (0;9) \Rightarrow BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9\);
\(\overrightarrow {CA} = ( - 9; - 6)\)\( \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{( - 9)}^2} + {{( - 6)}^2}} = 3\sqrt {13} .\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
\(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( 9 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt {13} .3\sqrt {10} }} \approx 0,614\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 52,{125^o}\)
\(\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 9 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.9.3\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 71,{565^o}\)
\( \Rightarrow \widehat C \approx 56,{31^o}\)
Vậy tam giác ABC có: \(a = 9;b = 3\sqrt {13} ;c = 3\sqrt {10} \); \(\widehat A \approx 52,{125^o};\widehat B \approx 71,{565^o};\widehat C \approx 56,{31^o}.\)
Cho ngũ giác đều $A B C D E$ tâm $O$.
a) Chứng minh rằng: hai vectơ $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}$ và $\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{O D}$.
b) Chứng minh hai vectơ $\overrightarrow{A B}$ và $\overrightarrow{E C}$ cùng phương.
c) Chứng minh: $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{0}$.
Chứng Minh:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\) thì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)
Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC
Gọi O là tâm hình lục giác đều ABCDEF.
a) Tìm các vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {OA} \).
b) Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
a) Ta có: AO // BC // EF
Suy ra các vectơ khác vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) và cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là : \(\overrightarrow {DO} ,\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {EF} \)
b) Ta có: \(OA = OB = OC = OD = OE = FO\) và AB // FC // ED
Suy ra các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {FO} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {ED} \)
cho hbh abcd tâm O. Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{OB}\)+ \(\overrightarrow{OC}\) + \(\overrightarrow{OD}\)= \(\overrightarrow{0}\)