Lời giải:

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là $x$

Theo định lý Pitago ta có:
\(B'D'^2=A'B'^2+A'D'^2=x^2+x^2=2x^2\)

Độ dài đường chéo:

\(BD'=\sqrt{BB'^2+B'D'^2}=\sqrt{x^2+2x^2}=\sqrt{3}x=2\sqrt{3}a\)

\(\Rightarrow x=2a\)

Đường cầu nội tiếp hình lập phương là đường cầu có bán kính bằng một nửa độ dài cạnh lập phương

\(\Rightarrow r=\frac{x}{2}=a\)

Do đó diện tích mặt cầu cần tìm là: \(S_{c}=4\pi r^2=4\pi a^2\)

Đáp án C

\(S_{xq}=2\pi R.h=2\pi.5.7=70\pi\left(cm^2\right)\)

\(\Rightarrow B\)

-Chúc bạn học tốt-

Đáp án:

B . ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + z 2 = 4

Giải thích các bước giải:

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a ; b ; c ) và bán kính R có phương trình:

( S ) : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2

Áp dụng:

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( − 2 ; 1 ; 0 ) và bán kính R = 2 có phương trình:

( S ) : ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + z 2 = 4

1.

Gọi S là đỉnh chóp và H là chân hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy

\(\Rightarrow\) H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Gọi 1 cạnh bên của chóp là SA, gọi M là trung điểm SA

Trong mặt phẳng (SAH), kẻ trung trực của SA qua M cắt SH tại O

\(\Rightarrow\) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}SA=a\\SH=h\end{matrix}\right.\)

Hai tam giác vuông \(SAH\) và SOM đồng dạng (chung góc S)

\(\Rightarrow\frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SH}=\frac{\frac{a}{2}}{l}=\frac{a}{2h}\Rightarrow SO=\frac{SA.a}{2h}=\frac{a^2}{2h}\)

\(\Rightarrow R=SO=\frac{a^2}{2h}\)

2.

Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\frac{a}{2}\)

Áp dụng công thức từ câu 1:

\(R=\frac{SA^2}{2SO}=\frac{3a}{4}\)

3.

\(BC=AB\sqrt{2}=2a\)

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) \(\Rightarrow\) H đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

\(\Rightarrow\) H là trung điểm BC

\(\Rightarrow\widehat{SAH}=60^0\Rightarrow SH=AH.tan60^0=\frac{BC}{2}tan60^0=a\sqrt{3}\)

\(SA=\frac{AH}{cos60^0}=2a\)

\(\Rightarrow R=\frac{SA^2}{2SH}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

\(S=4\pi R^2=\frac{16\pi a^2}{3}\)

4.

Gọi M là trung điểm CD, qua M kẻ đường thẳng song song AB

Gọi N là trung điểm AB, qua N kẻ đường thẳng song song AM

Gọi giao của 2 đường thẳng trên là O \(\Rightarrow\) O là tâm (S)

\(\Rightarrow AO=R=\sqrt{3}\)

Đặt \(AB=x;AC=y;AD=z\)

\(AN=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}\) ; \(AM=\frac{CD}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{AC^2+AD^2}=\frac{1}{2}\sqrt{y^2+z^2}\)

Áp dụng Pitago: \(AO^2=AN^2+AM^2\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}\left(y^2+z^2\right)=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2=12\)

\(V=\frac{1}{3}xyz\le\frac{1}{3}\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\le\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\right)^3=\frac{8}{3}\)

Diện tích hình tròn là: \(S = 3,{142.10^2} = 314,2 (\,c{m^2})\)

Chọn C.

Dựa vào công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu, ta có:

V(tru) =π.R^2/4.R√3
V(cau)=4/3.π.R^3
Vnktru=πR^3(4/3-√3/4)
=πR^3/12.(16-3√3)
Chọn (B).

Vtru =π.R^2/4.R√3
 

Vcau=4/3.π.R^3
 

Vnktru=πR^3(4/3-√3/4)
 

=πR^3/12.(16-3√3)
 

Chọn (B).

\(S=4\pi R^2=36\pi\Rightarrow R=3\) \(\Rightarrow OA=3\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow OH\perp AB\) và \(OH=2\sqrt{2}\)

Pitago tam giác vuông OAH:

\(AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=1\)

\(\Rightarrow AB=2AH=2\)

Lời giải:

Thiết diện là một tam giác đều cạnh \(a\sqrt{3}\) nên \(2R=\sqrt{3}a\Rightarrow R=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)

Do đó diện tích xq của hình nón là:

\(S_{xq}=\pi Rl=\frac{3a^2}{2}\pi\)

Đáp án C