Câu hỏi của Nguyễn thị Phụng

Question

Câu 1 : Cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau  và bằng a , độ dài đường cao bằng h . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho .

A. R = $\frac{a^2}{2h}$                B. R = \(\frac{2a^...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

1.

Gọi S là đỉnh chóp và H là chân hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy

$\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Gọi 1 cạnh bên của chóp là SA, gọi M là trung điểm SA

Trong mặt phẳng (SAH), kẻ trung trực của SA qua M cắt SH tại O

$\Rightarrow$ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

Ta có $\left\{{}\begin{matrix}SA=a\SH=h\end{matrix}\right.$

Hai tam giác vuông $SAH$ và SOM đồng dạng (chung góc S)

$\Rightarrow\frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SH}=\frac{\frac{a}{2}}{l}=\frac{a}{2h}\Rightarrow SO=\frac{SA.a}{2h}=\frac{a^2}{2h}$

$\Rightarrow R=SO=\frac{a^2}{2h}$Câu trả lời: 1.

Gọi S là đỉnh chóp và H là chân hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy

$\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Gọi 1 cạnh bên của chóp là SA, gọi M là trung điểm SA

Trong mặt phẳng (SAH), kẻ trung trực của SA qua M cắt SH tại O

$\Rightarrow$ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp

Ta có $\left\{{}\begin{matrix}SA=a\SH=h\end{matrix}\right.$

Hai tam giác vuông $SAH$ và SOM đồng dạng (chung góc S)

$\Rightarrow\frac{SO}{SA}=\frac{SM}{SH}=\frac{\frac{a}{2}}{l}=\frac{a}{2h}\Rightarrow SO=\frac{SA.a}{2h}=\frac{a^2}{2h}$

$\Rightarrow R=SO=\frac{a^2}{2h}$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

2.

Gọi O là tâm đáy $\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)$

$AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\frac{a}{2}$

Áp dụng công thức từ câu 1:

$R=\frac{SA^2}{2SO}=\frac{3a}{4}$

3.

$BC=AB\sqrt{2}=2a$

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) $\Rightarrow$ H đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

$\Rightarrow$ H là trung điểm BC

$\Rightarrow\widehat{SAH}=60^0\Rightarrow SH=AH.tan60^0=\frac{BC}{2}tan60^0=a\sqrt{3}$

$SA=\frac{AH}{cos60^0}=2a$

$\Rightarrow R=\frac{SA^2}{2SH}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$

$S=4\pi R^2=\frac{16\pi a^2}{3}$Câu trả lời: 2.

Gọi O là tâm đáy $\Rightarrow SO\perp\left(ABCD\right)$

$AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\frac{a}{2}$

Áp dụng công thức từ câu 1:

$R=\frac{SA^2}{2SO}=\frac{3a}{4}$

3.

$BC=AB\sqrt{2}=2a$

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) $\Rightarrow$ H đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

$\Rightarrow$ H là trung điểm BC

$\Rightarrow\widehat{SAH}=60^0\Rightarrow SH=AH.tan60^0=\frac{BC}{2}tan60^0=a\sqrt{3}$

$SA=\frac{AH}{cos60^0}=2a$

$\Rightarrow R=\frac{SA^2}{2SH}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$

$S=4\pi R^2=\frac{16\pi a^2}{3}$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

4.

Gọi M là trung điểm CD, qua M kẻ đường thẳng song song AB

Gọi N là trung điểm AB, qua N kẻ đường thẳng song song AM

Gọi giao của 2 đường thẳng trên là O $\Rightarrow$ O là tâm (S)

$\Rightarrow AO=R=\sqrt{3}$

Đặt $AB=x;AC=y;AD=z$

$AN=\frac{AB}{2}=\frac{x}{2}$ ; $AM=\frac{CD}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{AC^2+AD^2}=\frac{1}{2}\sqrt{y^2+z^2}$

Áp dụng Pitago: $AO^2=AN^2+AM^2$

$\Rightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}\left(y^2+z^2\right)=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2=12$

$V=\frac{1}{3}xyz\le\frac{1}{3}\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\le\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}{3}\right)^3=\frac{8}{3}$Câu trả lời: 4.