Answer:

3.

\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)

\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)

\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)

\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)

\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)

1) \(A=x^2+8x+15=\left(x^2+8x+16\right)-1=\left(x+4\right)^2-1\ge-1\)

\(minA=-1\Leftrightarrow x=-4\)

2) \(B=7x-x^2-5=-\left(x^2-7x+\dfrac{49}{4}\right)+\dfrac{29}{4}=-\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{29}{4}\le\dfrac{29}{4}\)

\(maxB=\dfrac{29}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2}\)

Ta có: \(A=x^2+8x+15\)

\(=x^2+8x+16-1\)

\(=\left(x+4\right)^2-1\ge-1\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=-4

Lớp 8 nhé, mình chọn nhầm

1) ta có : \(x^2+5y^2-4xy+2y=3\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2=2-\left(y+1\right)^2\ge0\) \(\Leftrightarrow2\ge\left(y+1\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le y+1\le\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}-1\le y\le\sqrt{2}-1\)

ta lại có : \(\left(y+1\right)^2=2-\left(x-2y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\ge\left(x-2y\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x-2y\le\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}+2y\le x\le\sqrt{2}+2y\Leftrightarrow-2-3\sqrt{2}\le x\le-2+3\sqrt{2}\)

vậy \(x_{max}=-2+3\sqrt{2}\)

dâu "=" xảy ra khi \(y=\sqrt{2}-1\)

câu 3 : ta có : \(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)

\(\Leftrightarrow y^2=-\left(x+y\right)^2-7\left(x+y\right)-10\ge0\)

\(\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2\)

\(\Rightarrow S_{max}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\\x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-2\)

\(S_{min}=-5\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\\x+y=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-5\)

bài này có trong đề thi hsg trường mk :)

câu 2 này là câu tổ hợp của câu 1 và câu 3 thôi .

a) ta có : \(3x^2+y^2+2xy+4=7x+3y\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)^2=-\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2\)

\(\Leftrightarrow1\le x+y\le2\)

\(\Rightarrow P_{max}=2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(P_{min}=1\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)

b) ta có : \(3x^2+y^2+2xy+4=7x+3y\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)+\dfrac{9}{4}=-2x^2+4x-\dfrac{7}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\le x\le\dfrac{4+\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow\) GTNN của \(x\) là \(\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\) dâu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\\x+y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+\sqrt{2}}{4}\\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.\)

mk nghỉ đề này không phải của lớp 8 đâu phải không :)

1,\(f\left(x\right)=3x^2-2x-7\)

\(=3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}\right)-\dfrac{22}{3}\)

\(=2\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{22}{3}\ge-\dfrac{22}{3}\forall x\)

Vậy GTNN của biểu thức là \(-\dfrac{22}{3}\) khi \(x-\dfrac{1}{3}=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\)

\(b,f\left(x\right)=5x^2+7x=5\left(x^2+\dfrac{7}{5}x+\dfrac{49}{100}\right)-\dfrac{49}{20}\)\(=5\left(x+\dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{49}{20}\ge-\dfrac{49}{20}\forall x\)

Vậy Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(-\dfrac{49}{20}\) khi \(x+\dfrac{7}{10}=0\Rightarrow x=-\dfrac{7}{10}\)

\(c,f\left(x\right)=-5x^2+9x-2=-5\left(x^2-\dfrac{9}{5}x+\dfrac{81}{100}\right)+\dfrac{41}{20}\)\(=-5\left(x-\dfrac{9}{10}\right)^2+\dfrac{41}{20}\le\dfrac{41}{20}\forall x\)

Vậy GTLN của biểu thức là \(\dfrac{41}{20}\) khi \(x-\dfrac{9}{10}=0\Rightarrow x=\dfrac{9}{10}\)

\(d,f\left(x\right)=-7x^2+3x=-7\left(x^2-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{9}{196}\right)+\dfrac{9}{28}\)\(=-7\left(x-\dfrac{3}{14}\right)^2+\dfrac{9}{28}\le\dfrac{9}{28}\forall x\)

Vậy GTLN của biểu thức là \(\dfrac{9}{28}\) khi \(x-\dfrac{3}{14}=0\Rightarrow x=\dfrac{3}{14}\)

1/ \(f\left(x\right)=3x^2-2x-7\)

\(=3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x-7\right)\)

\(=3\left(x^2-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{64}{9}\right)\)

\(=3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{64}{3}\)

Ta có: \(3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{64}{3}\ge-\dfrac{64}{3}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-\dfrac{1}{3}=0\) hay \(x=\dfrac{1}{3}\)

Vậy MIN_f(x) = \(-\dfrac{64}{3}\) khi x = \(\dfrac{1}{3}\).

2/ \(f\left(x\right)=5x^2+7x\)

\(=5\left(x^2+\dfrac{7}{5}x\right)=5\left(x^2+\dfrac{7}{5}x+\dfrac{49}{100}-\dfrac{49}{100}\right)\)

\(=5\left(x+\dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{49}{20}\)

Ta có: \(5\left(x+\dfrac{7}{10}\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow5\left(x+\dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{49}{20}\ge-\dfrac{49}{20}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+\dfrac{7}{10}=0\) hay \(x=-\dfrac{7}{10}\)

Vậy MIN_f(x) = \(-\dfrac{49}{20}\) khi x = \(-\dfrac{7}{10}\).

1/ \(f\left(x\right)=-5x^2+9x-2\)

\(=-5\left(x^2-\dfrac{9}{5}x+\dfrac{2}{5}\right)\)

\(=-5\left(x^2-\dfrac{9}{5}x+\dfrac{81}{100}-\dfrac{41}{100}\right)\)

\(=-5\left(x-\dfrac{9}{10}\right)^2+\dfrac{41}{20}\)

Ta có: \(-5\left(x-\dfrac{9}{10}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-5\left(x-\dfrac{9}{10}\right)^2+\dfrac{41}{20}\le\dfrac{41}{20}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-\dfrac{9}{10}=0\) hay \(x=\dfrac{9}{10}\)

Vậy MAX_f(x) = \(\dfrac{41}{20}\) khi x = \(\dfrac{9}{10}\)

2/ \(f\left(x\right)=-7x^2+3x=-7\left(x^2-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{9}{196}\right)+\dfrac{9}{28}\)

\(=-7\left(x-\dfrac{3}{14}\right)^2+\dfrac{9}{28}\)

Ta có: \(-7\left(x-\dfrac{3}{14}\right)^2\le0\forall x\Rightarrow-7\left(x-\dfrac{3}{14}\right)^2+\dfrac{9}{28}\le\dfrac{9}{28}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-\dfrac{3}{14}=0\) hay x = \(\dfrac{3}{14}\)

Vậy MAX_f(x) = \(\dfrac{9}{28}\) khi x = \(\dfrac{3}{14}\).

a: \(f\left(x\right)=2x^2-7x+9\)

=>\(f'\left(x\right)=2\cdot2x-7=4x-7\)

Đặt f'(x)=0

=>\(4x-7=0\)

=>\(x=\dfrac{7}{4}\)

\(f\left(\dfrac{7}{4}\right)=2\cdot\left(\dfrac{7}{4}\right)^2-7\cdot\dfrac{7}{4}+9=\dfrac{23}{8}\)

\(f\left(-1\right)=2\left(-1\right)^2-7\cdot\left(-1\right)+9=18\)

\(f\left(4\right)=2\cdot4^2-7\cdot4+9=13\)

Vì \(f\left(\dfrac{7}{4}\right)< f\left(4\right)< f\left(-1\right)\)

nên \(f\left(x\right)_{max\left[-1;4\right]}=18;f\left(x\right)_{min\left[-1;4\right]}=\dfrac{23}{8}\)

b: \(f\left(x\right)=x^2+5x+3\)

=>\(f'\left(x\right)=2x+5\)

f'(x)=0

=>2x+5=0

=>2x=-5

=>\(x=-\dfrac{5}{2}\)

\(f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2+5\cdot\dfrac{-5}{2}+3=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+3=-\dfrac{13}{4}\)

\(f\left(2\right)=2^2+5\cdot2+3=4+10+3=17\)

\(f\left(6\right)=6^2+5\cdot6+3=69\)

Vậy: \(f\left(x\right)_{max\left[2;6\right]}=69;f\left(x\right)_{min\left[2;6\right]}=-\dfrac{13}{4}\)

A= X²+5X+25/4-37/4 =(X+5/2)²-37/4 >= -37/4

A_min=-37/4

Đạt được khi : X=-5/2

B=-X²+7X+1=-(X²-7X-1)=-(X²+7X+49/4-53/4)=-(X+7/2)²+53/4<=53/4

B_Max=53/4

Đạt được khi:X=-7/2

C=2x²+6x=2x²+6x+9/4-9/4=2(x²+3x+9/4)-9/4=2(x+3/2)²-9/4>=-9/4

C_Min=-9/4

Đạt được khi:x=-3/2

Giải:

a) Ta có: \(-x^2-6x+15\)

\(=-x^2-6x-9+24\)

\(=-\left(x^2+6x+9\right)+24\)

\(=-\left(x+3\right)^2+24\)

Vì \(-\left(x+3\right)^2\le0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+3\right)^2+24\le24\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức trên là 24.

Câu b làm tương tự (phân tích đa thức thành nhân tử hoặc đưa về dạng hằng đẳng thức).

a)

\(E=-x^2-6x+15\)

\(E=-\left(x^2+6x-15\right)\)

\(E=-\left(x^2+2.x.3+9-24\right)\)

\(E=-\left(x+3\right)^2+24\)

Ta có: \(-\left(x+3\right)^2\le0\) với mọi x thuộc R

\(\Rightarrow-\left(x+3\right)^2+24\le24\)

Vậy GTLN của E = 24 khi x = -3

b)

\(F=\left(x^2+7x-2\right)\left(x^2+7x+2\right)\)

\(F=\left(x^2+7x\right)^2-2^2\)

\(F=\left(x^2+7x\right)^2-4\)

\(F=x^2\left(x+7\right)^2-4\)

Ta có:

\(x^2\left(x+7\right)^2\ge0\) với mọi x thuộc R

\(\Rightarrow x^2\left(x+7\right)^2-4\ge-4\) với mọi x thuộc R

Vậy GTNN của F = -4 khi x = 0 hoặc x = -7