Câu hỏi của Phạm Minh Quang

Question

1. Cho x,y thỏa mãn: x2 + 5y2 - 4xy + 2y = 3. Tìm x,y sao cho x đạt GTLN

2. Cho x,y thỏa mãn: 3x2 + y2 + 2xy + 4 = 7x + 3y

a) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức P = x + y

b) Tìm GTNN, GTLN của x

3. Cho...

Mysterious Person · Accepted Answer

1) ta có : $x^2+5y^2-4xy+2y=3\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=2$

$\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2=2-\left(y+1\right)^2\ge0$ $\Leftrightarrow2\ge\left(y+1\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le y+1\le\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow-\sqrt{2}-1\le y\le\sqrt{2}-1$

ta lại có : $\left(y+1\right)^2=2-\left(x-2y\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow2\ge\left(x-2y\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x-2y\le\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow-\sqrt{2}+2y\le x\le\sqrt{2}+2y\Leftrightarrow-2-3\sqrt{2}\le x\le-2+3\sqrt{2}$

vậy $x_{max}=-2+3\sqrt{2}$

dâu "=" xảy ra khi $y=\sqrt{2}-1$Câu trả lời: 1) ta có : $x^2+5y^2-4xy+2y=3\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=2$

$\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2=2-\left(y+1\right)^2\ge0$ $\Leftrightarrow2\ge\left(y+1\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le y+1\le\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow-\sqrt{2}-1\le y\le\sqrt{2}-1$

ta lại có : $\left(y+1\right)^2=2-\left(x-2y\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow2\ge\left(x-2y\right)^2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x-2y\le\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow-\sqrt{2}+2y\le x\le\sqrt{2}+2y\Leftrightarrow-2-3\sqrt{2}\le x\le-2+3\sqrt{2}$

vậy $x_{max}=-2+3\sqrt{2}$

dâu "=" xảy ra khi $y=\sqrt{2}-1$

Mysterious Person · Answer

câu 3 : ta có : $x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0$

$\Leftrightarrow y^2=-\left(x+y\right)^2-7\left(x+y\right)-10\ge0$

$\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2$

$\Rightarrow S_{max}=-2$ khi $\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-2$

$S_{min}=-5$ khi   $\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\x+y=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-5$

bài này có trong đề thi hsg trường mk :)Câu trả lời: câu 3 : ta có : $x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0$

$\Leftrightarrow y^2=-\left(x+y\right)^2-7\left(x+y\right)-10\ge0$

$\Leftrightarrow-5\le x+y\le-2$

$\Rightarrow S_{max}=-2$ khi $\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\x+y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-2$

$S_{min}=-5$ khi   $\left\{{}\begin{matrix}y^2=0\x+y=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=0;x=-5$

bài này có trong đề thi hsg trường mk :)

Mysterious Person · Answer

câu 2 này là câu tổ hợp của câu 1 và câu 3 thôi .

a) ta có : $3x^2+y^2+2xy+4=7x+3y$

$\Leftrightarrow2\left(x-1\right)^2=-\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2$

$\Leftrightarrow1\le x+y\le2$

$\Rightarrow P_{max}=2$ khi $\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\y=1\end{matrix}\right.$

$P_{min}=1$ khi $\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\y=0\end{matrix}\right.$

b) ta có : $3x^2+y^2+2xy+4=7x+3y$

$\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)+\dfrac{9}{4}=-2x^2+4x-\dfrac{7}{4}$

$\Leftrightarrow\left(x+y-\dfrac{3}{2}\right)^2=-2x^2+4x-\dfrac{7}{4}\ge0$

$\Leftrightarrow\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\le x\le\dfrac{4+\sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow$ GTNN của $x$ là $\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}$ dâu "=" xảy ra khi $\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\x+y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}\y=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ GTNN của $x$ là $\dfrac{4-\sqrt{2}}{4}$ dâu "=" xảy ra khi $\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+\sqrt{2}}{4}\x+y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+\sqrt{2}}{4}\y=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}\end{matrix}\right.$

mk nghỉ đề này không phải của lớp 8 đâu phải không :)Câu trả lời: câu 2 này là câu tổ hợp của câu 1 và câu 3 thôi .