Đặt AI = x (cm) , (x>0) , IC = y (cm) , (y>0)

Ta có : \(2y^2=18,2015\Rightarrow y=\sqrt{\frac{18,2015^2}{2}}\)

Mặt khác : \(x^2+DI^2=AD^2=14,2014^2\) ; \(y^2+DI^2=CD^2=18,2015^2\)

\(\Rightarrow y^2-x^2=18,2015^2-14,2014^2\Rightarrow x=\sqrt{y^2-18,2015^2+14,2014^2}\)

Từ đó dễ dàng giải tiếp bài toán.

a: ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và \(AC^2=AB^2+BC^2\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\cdot90^0=45^0\)

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)
=>\(AC=a\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=a\cdot a\sqrt{2}\cdot cosBAC\)

\(=a^2\cdot\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2\)

b: Vì ABCD là hình vuông

nên AC\(\perp\)BD

=>\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)

Đáp án B

Phương pháp:

Thể tích khối chóp: V = Sh

Cách giải:

Đáp án C

Ta có: A B C ^ = 120 ∘ ⇒ B A D ^ = 60 ∘ suy ra tam giác ABD là tam giác đều cạnh a. Khi đó A’.ABD là chóp đều cạnh đáy bằng a. Như vậy hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD.

Ta có: A ' H = HA  tan 60 ∘ = a 3 3 . 3 = a  

⇒ V A ' A B D = 1 3 A ' H . S A B C = a 3 3 12  

Do đó  V A B C D . A ' B ' C ' D ' = 3 V A ' . A B C D = 6 V A ' A B D = a 3 3 2 .

1) \(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}.AC.BD\Rightarrow BD=\dfrac{2S_{ABCD}}{AC}=\dfrac{2.50\sqrt[]{3}}{10}=10\sqrt[]{3}\left(cm\right)\)

Gọi O là giao điểm AC và BD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=\dfrac{1}{2}AC=5\left(cm\right)\\OB=\dfrac{1}{2}BD=5\sqrt[]{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét Δ vuông OAB có :

\(AB^2=OA^2+OC^2=25+25.3=100\left(cm^2\right)\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow AB=10\left(cm\right)\)

2) Xét Δ vuông OAB có :

\(AB=2OA=10\left(cm\right)\)

⇒ Δ OAB là Δ nửa đều

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABD}=30^o\\\widehat{BAC}=60^o\end{matrix}\right.\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=2\widehat{BAC}\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=2\widehat{ABD}\end{matrix}\right.\) (tính chất hình thoi)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=2.60=120^o\\\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=2.30=60^o\end{matrix}\right.\)

Đáp án C

Ta có: A B C ^ = 120 ∘ ⇒ B A D ^ = 60 ∘  suy ra tam giác ABD là tam giác đều cạnh a. Khi đó A’.ABD là chóp đều cạnh đáy bằng a. Như vậy hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD.