a, Gọi b là số thương của phép chia a cho 3 dư 2 => a=3b+2

\(a^2=\left(3b+2\right)^2=9b^2+12b+4=3\left(3b^2+4b+1\right)+1\\ Mà:3\left(3b^2+4b+1\right)⋮3\\ Vậy:3\left(b^2+4b+1\right)+1:3\left(dư.1\right)\\ Vậy:a^2:3\left(dư.1\right)\left(đpcm\right)\)

b, Gọi c là số thương của phép chia cho 5 dư 3 => a=5b+3

\(a^2=\left(5b+3\right)^2=25b^2+30b+9=5\left(5b^2+6b+1\right)+4\\ Mà:5\left(5b^2+6b+1\right)⋮5\\ Nên:5\left(5b^2+6b+1\right)+4:5\left(dư.4\right)\\ Vậy:a^2:5\left(dư.4\right)\left(đpcm\right)\)

a) Số a có dạng: \(a=3k+2\) 

\(\Rightarrow a^2=\left(3k+2\right)^2=\left(3k\right)^2+2\cdot3k\cdot2+2^2=9k^2+12k+4\)

\(\Rightarrow a^2=9k^2+12k+3+1=3\left(3k^2+4k+1\right)+1\)

Mà: \(3\left(3k^2+4k+1\right)\) ⋮ 3 

\(\Rightarrow a^2=3\left(3k^2+4k+1\right)+1\) chia 3 dư 1

b) Số a có dạng là: \(a=5k+3\) 

\(\Rightarrow a^2=\left(5k+3\right)^2=25k^2+2\cdot5k\cdot3+3^2=25k^2+30k+9\)

\(\Rightarrow a^2=\left(25k^2+30k+5\right)+4=5\left(5k^2+6k+1\right)+4\)

Mà: \(5\left(5k^2+6k+1\right)\) ⋮ 5

\(\Rightarrow a^2=5\left(5k^2+6k+1\right)+4\) chia 5 dư 4 

Có a chia 5 dư 4

=> a= 5k +4

=> a²= (5k+4)²= 25k²+ 40k+ 16

vì 25k² chia hết cho 5

    40k chia hết cho 5

   16 chia 5 dư 1

=> 25k²+ 40k+ 16 chia 5 dư 0+0+1= 1

=> a² chia 5 dư 1

tick mình nha

Vì a chia 5 dư 4 nên a có dạng 5k-1 

Ta có 

Vậy chia 5 dư 1 .

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈ N)

Ta có:  = 

      = 25 + 40k + 15 + 1

      = 5 (5 + 8k + 3) +1

Ta có: 5 ⋮ 5 nên 5 (5 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy  =  chia cho 5 dư 1. (đpcm)

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có:  a 2  = 5 k + 4 2

      = 25 k 2  + 40k + 16

      = 25 k 2  + 40k + 15 + 1

      = 5(5 k 2  + 8k +3) +1

Ta có: 5 ⋮ 5 nên 5(5 k 2  + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy  a 2  =  5 k + 4 2  chia cho 5 dư 1. (đpcm)

Vì a ko chia hết cho 5

 ⇒ a có dạng 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4

Với a=5k+1 ⇒ a²=(5k+1)²=25k²+10k+1=5(5k²+2k)+1 dư 1

Với a=5k+2 ⇒ a²=(5k+2)²=25k²+20k+4=5(5k²+4k)+4 dư 4

Với a=5k+3 ⇒ a²=(5k+3)²=25k²+30k+9=5(5k²+6k+1)+4 dư 4

Với a=5k+4 ⇒ a²=(5k+4)²=25k²+40k+16=5(5k²+8k+3)+1 dư 1 

Có a chia 5 dư 4

=> a= 5k +4

=> a²= (5k+4)²= 25k²+ 40k+ 16

vì 25k² chia hết cho 5

    40k chia hết cho 5

   16 chia 5 dư 1

=> 25k²+ 40k+ 16 chia 5 dư 0+0+1= 1

=> a² chia 5 dư 1

Do a chia 5 dư 4 nên \(a=5k+4\) với \(k\in Z\)

\(\Rightarrow a^2=\left(5k+4\right)^2=25k^2+40k+16=25k^2+40k+15+1\)

\(=5\left(5k^2+8k+3\right)+1\)

\(\Rightarrow a^2\) chia 5 dư 1

Nếu a chia cho 5 dư 1 bằng các số bình phương thì a = 6,11,16,21,26,31,36,41,46,51,56,61,66,71,76,81,86,91,96...

=> các số có thể chuyển thành chính phương là 4,6,9,...là 16,36,81

Vậy các số chia cho 5 dư 4 là 4,9,... và các số kia cũng 16 và 81 chia cho 5 dư 1

1)Ta có:x=4=>x+1=5(1)

Mặt khác:A=x⁵-5x⁴+5x³-5x²+5x-1(2)

Thay (1) vào (2) ta có:

A=x⁵-(x+1)x⁴+(x+1)x³-(x+1)x²+(x+1)x-1

=>A=x⁵-x⁵-x⁴+x⁴+x³-x³-x²+x²+x-1

=>A=x-1=4-1=3

2)Vì a:5 dư 2,b:5 dư 3 nên:

Đặt:a=5x+2;b=5y+3

Khi đó:ab=(5x+2)(5y+3)=25xy+10y+15x+6

=5(5xy+2y+3x+1)+1

Vì 5(5xy+2y+3x+1)\(⋮\)5 nên =>5(5xy+2y+3x+1)+1:5 dư 1 hay ab:5 dư 1

Vậy ab:5 dư 1

3)

a)Nhận xét:

a₁=1

a₂=1+2=3

a₃=1+2+3=6

a₄=1+2+3+4=10

Khi đó:a₁₀₀=1+2+3+...+100=\(\dfrac{100.101}{2}\)=5050

a_n=1+2+3+...+n=\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

b)Gọi 2 số hạng liên tiếp là n-1;n

=>a_n-1=1+2+3+...+(n-1)=\(\dfrac{\left(n-1\right)n}{2}\)

=>a_n=\(\dfrac{\left(n+1\right)n}{2}\)(ở câu a)

Khi đó:tổng 2 số hạng liên tiếp là a_n+a_n-1 là:

a_n+a_n-1=\(\dfrac{n\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)}{2}\)=\(\dfrac{2n.n}{2}\)

=\(\dfrac{2n^2}{2}\)=n² là số chính phương

Vậy tổng 2 số hạng liên tiếp là số chính phương

do a chia 5 dư 4

=> a=5k+4 (k thuộc N)

=> a²=(5k+4)²=(5k+4).(5k+4)=5k.(5k+4)+4.(5k+4)

=25k²+20k+20k+16=25k²+40k+15+1 chia 5 dư 1

Vậy nếu số tự nhiên a chia cho 5 dư 4 thì a^2 chia cho 5 dư 1 

a chia 5 dư 4 nên a có dạng: a = 5k + 4

=> a² = (5k + 4)² = 25k² +40k +16 = 25k² +40k +15 + 1 = 5*(5k² +8k +3) + 1

Vậy a² chia 5 dư 1. ĐPCM

Bài 1: 

b) Ta có: \(\left(2n-3\right)\left(2n+3\right)-4n\left(n-9\right)\)

\(=4n^2-9-4n^2+36n\)

\(=36n-9⋮9\)