Vì G là trọng tâm tam giác ABC=> \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\)

\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CG}\right|=\left|\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right|=2\left|\overrightarrow{GB}\right|=2GB\)

Gọi K là trung điểm AC

\(\Rightarrow GB=\frac{2}{3}BK=\frac{2}{3}\sqrt{AB^2-\frac{1}{4}AC^2}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{4}AB^2}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{4}.4a^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a\)

a: \(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\)

b: lấy điểm H sao cho \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{GC}\)

\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{GC}\)

=>AH//GC và AH=GC

Xét tứ giác AHCG có

AH//CG

AH=GC

Do đó: AHCG là hình bình hành

ΔABC đều có G là trọng tâm

nên \(AG=GB=GC=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}\right|\)

\(=\left|\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{HB}\right|=HB\)

AHCG là hình bình hành

=>HC=AG và HC//AG

=>\(HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

ΔABC đều có G là trọng tâm

nên GB=GC=GA

GB=GC

AB=AC

Do đó: AG là đường trung trực của BC

=>AG\(\perp\)BC

mà CH//AG

nên CH\(\perp\)CB

=>ΔCHB vuông tại C

=>\(BH^2=HC^2+BC^2\)

=>\(BH^2=\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2+a^2=a^2+\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{4}{3}a^2\)

=>\(BH=a\cdot\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\right|=BH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow CM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\) (t/c trung tuyến tam giác đều)

\(\Rightarrow GC=\frac{2}{3}CM=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Do trong tam giác đều, trọng tâm đồng thời là trực tâm

\(\Rightarrow AB\perp GC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{GC}=0\)

Đặt \(x=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GC}\right|\Rightarrow x^2=AB^2+GC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{GC}\)

\(\Rightarrow x^2=AB^2+GC^2=4a^2+\frac{4a^2}{3}=\frac{16a^2}{3}\)

\(\Rightarrow x=\frac{4a\sqrt{3}}{3}\)

mk bận đi ch nên chỉ tạm câu a nha 

vẽ 3 đường trung tuyến AD ; BE ; CF 

VT = 

\(GA+GB+GC\)   ( nhớ thêm dấu vec tơ nha ) 

\(=-\frac{2}{3}AD-\frac{2}{3}BE-\frac{2}{3}CF\)  

\(=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(AB+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(BA+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(CA+CB\right)\)     ( quy tắc hình bình hành ) 

\(=-\frac{1}{3}\left(AB+AC\right)-\frac{1}{3}\left(BA+BC\right)-\frac{1}{3}\left(CA+CB\right)\) 

\(=-\frac{1}{3}AB-\frac{1}{3}AC-\frac{1}{3}BA-\frac{1}{3}BC-\frac{1}{3}CA-\frac{1}{3}CB\)    

\(=0=VP\)

.... chua hoc

a: Gọi M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là trung điểm của AB

Do đó: CG=2/3CM

=>CG=2GM

=>\(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GM}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

\(=2\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}\)

\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}\)

\(=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{BN}\)

G là trọng tâm \(\Rightarrow BG=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{BN}\right|\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|^2=BG^2+4BN^2+4\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{BN}\)

\(=\dfrac{a^2}{3}+4a^2+4.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.a.cos120^0=\dfrac{13-2\sqrt{3}}{3}a^2\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\dfrac{13-2\sqrt{3}}{3}}.a\)