Gọi G là giao điểm BD và CE khi đó ta có G là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow\)\(BG=\frac{2}{3}BD;CG=\frac{2}{3}CE\)

Mà BD=CE nên suy ra BG=CG

Do đó tam giác BGC là tam giác cân

\(\Rightarrow\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\)

Kết hợp với BD=CE(gt)\(\Rightarrow\Delta BCD=\Delta CBE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{CBE}=\widehat{BCD}\)\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (ĐPCM)

Ta có: \(BD\) là đường trung tuyến đồng thời \(BD\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)

=> \(BD\perp AC.\)

\(CE\) là đường trung tuyến đồng thời \(CE\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)

=> \(CE\perp AB.\)

Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABD\) và \(ACE\) có:

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\) (vì \(BD\perp AC;CE\perp AB\))

\(BD=CE\left(gt\right)\)

\(\widehat{A}\) chung

=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

=> \(AB=AC\) (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta ABC\) cân tại \(A\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Ta có: \(BD< CE\left(gt\right)\)

=> \(\frac{2}{3}BD< \frac{2}{3}CE\) (tính chất trọng tâm của tam giác)

Hay \(BG< CG.\)

Trong \(\Delta BDC\) có \(\widehat{GBC}\) đối diện với cạnh \(GC;\widehat{GCB}\) đối diện với cạnh \(GB.\)

Mà \(GB< GC\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{GCB}< \widehat{GBC}\) (theo quan hệ giữa góc và cạnh đối điện trong tam giác)

Chúc bạn học tốt!

Tự vẽ hình

a, Nối A với H , lấy O là trung điểm của AH

Xét \(\bigtriangleup{AEH}\) vuông tại E có :

OE là đường trung tuyến ( O là trung điểm AH )

=> OE = \(\dfrac{AH}{2}\) = OA = OH (1)

Xét \(\bigtriangleup{ADH}\) vuông tại D có :

OD là đường trung tuyến (O là trung điểm của AH )

=> OD = \(\dfrac{AH}{2} \) = OA = OH (2)

Từ (1) và (2) => OA = OE = OH = OD => 4 điểm A , E , H , D \(\in (O)\)

đường kính AH

Vậy tâm O của đường tròn đó là trung điểm của AH

b, Vì OA = OE ( cmt )

=> \(\bigtriangleup{AOE}\) cân tại O

=> \(\widehat{A_1} = \widehat{E_3}\) (1)

\(\bigtriangleup{BEC}\) vuông tại E có :

M là trung điểm của BC (gt)

=> EM = \(\dfrac{BC}{2}\) = MB = MC => \(\bigtriangleup{EMC}\) cân tại M

=> \(\widehat{E_2} = \widehat{C_1}\) (2)

Vì \(\bigtriangleup{ABC} \) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

=> H là trực tâm của \(\bigtriangleup{ABC} \)

=> \(AH \perp BC \) = {I}

\(\bigtriangleup{ABI}\) vuông tại I (cmt) => \(\widehat{A_1} +\widehat{ABI} =90^0\)

\(\bigtriangleup{BCE}\) vuông tại E (gt) => \(\widehat{C_1} +\widehat{ABI} = 90^0\)

=> \(\widehat{A_1} = \widehat{C_1}\) (3)

Từ (1) , (2) và (3) => \(\widehat{E_2} = \widehat{E_3} \)

mà \(\widehat{E_3} +\widehat{E_1} = \widehat{AEC} = 90^0\)

=> \(\widehat{E_1} +\widehat{E_2 } =90^0\)

\(\widehat{OEM} =90^0 => OE \perp EM = \) {E}

E \(\in\) (O)

=> ME là tiếp tuyến của (O)

a,Xét tam giác BMH và CMK có

+ BM = CM ( GT)

+ BMH=CMK (Hai góc đối đỉnh)

+ MH = MK (GT)

,Do đó tam giác BMH= tam giác CMK (Đpcm)

b,Vì tam giác BMH=tam giác CMK ( chứng minh trên)

nên MBH=MCK (Hai góc tương ứng)

mà 2 góc MBH và MCK ở vị trí so le trong nên BH //CK

lại có BH vuông góc AC (GT)

nên CA vuông góc CK (đpcm)

* Chứng minh được CH = CG

* Chứng minh được CH = BK

Suy ra đpcm

1: Xét ΔABC có

BD,CE là trung tuyến

BD cắt CE tại G

=>G là trọng tâm

=>GD=1/3BD và GE=1/3CE

mà BD=CE

nên GD=GE

=>GB=GC

2: Xét ΔGBE và ΔGCD có

GB=GC

góc BGE=góc CGD

GE=GD

=>ΔGBE=ΔGCD

3: ΔGBE=ΔGCD

=>BE=CD

=>AB=AC

=>ΔBAC cân tại A

Cho cái j thế? Chứng minh cái j?

cho cái j thế chứng minh cái j?

cho tam giác ABC, chứng minh IK vuông góc với DE =))