Tự vẽ hình
a, Nối A với H , lấy O là trung điểm của AH
Xét \(\bigtriangleup{AEH}\) vuông tại E có :
OE là đường trung tuyến ( O là trung điểm AH )
=> OE = \(\dfrac{AH}{2}\) = OA = OH (1)
Xét \(\bigtriangleup{ADH}\) vuông tại D có :
OD là đường trung tuyến (O là trung điểm của AH )
=> OD = \(\dfrac{AH}{2} \) = OA = OH (2)
Từ (1) và (2) => OA = OE = OH = OD => 4 điểm A , E , H , D \(\in (O)\)
đường kính AH
Vậy tâm O của đường tròn đó là trung điểm của AH
b, Vì OA = OE ( cmt )
=> \(\bigtriangleup{AOE}\) cân tại O
=> \(\widehat{A_1} = \widehat{E_3}\) (1)
\(\bigtriangleup{BEC}\) vuông tại E có :
M là trung điểm của BC (gt)
=> EM = \(\dfrac{BC}{2}\) = MB = MC => \(\bigtriangleup{EMC}\) cân tại M
=> \(\widehat{E_2} = \widehat{C_1}\) (2)
Vì \(\bigtriangleup{ABC} \) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
=> H là trực tâm của \(\bigtriangleup{ABC} \)
=> \(AH \perp BC \) = {I}
\(\bigtriangleup{ABI}\) vuông tại I (cmt) => \(\widehat{A_1} +\widehat{ABI} =90^0\)
\(\bigtriangleup{BCE}\) vuông tại E (gt) => \(\widehat{C_1} +\widehat{ABI} = 90^0\)
=> \(\widehat{A_1} = \widehat{C_1}\) (3)
Từ (1) , (2) và (3) => \(\widehat{E_2} = \widehat{E_3} \)
mà \(\widehat{E_3} +\widehat{E_1} = \widehat{AEC} = 90^0\)
=> \(\widehat{E_1} +\widehat{E_2 } =90^0\)
\(\widehat{OEM} =90^0 => OE \perp EM = \) {E}
E \(\in\) (O)
=> ME là tiếp tuyến của (O)
