Question

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), có các đường cao BN và CM cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm B,M,N,C thuộc cùng một đường tròn .

b)MN//BC

c)ON là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính AH

Answer 1

Lời giải:

1) Vì  là đường cao của tam giác  nên:

ˆBMC=ˆBNC(=900)BMC^=BNC^(=900)

Hai góc này cùng nhìn cạnh  nên theo dấu hiệu nhận biết tgnt thì tứ giác  nội tiếp, hay  cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi  là giao điểm  và 

Gọi  là trung điểm của 

Ta thấy  là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  của tam giác  nên , do đó  cũng thuộc đường tròn đường kính 

 tam giác  cân tại 

⇒ˆTNH=ˆTHN=ˆBHK(1)⇒TNH^=THN^=BHK^(1)

Tương tự, tam giác vuông  có đường trung tuyến  nên 

 cân tại 

⇒ˆBNO=ˆOBN(2)⇒BNO^=OBN^(2)

Từ (1);(2)⇒ˆTNH+ˆBNO=ˆBHK+ˆOBN(1);(2)⇒TNH^+BNO^=BHK^+OBN^

⇒ˆTNO=ˆBHK+ˆHBK=900⇒TNO^=BHK^+HBK^=900

Do đó ON là tiếp tuyến của 

Answer 2

Answer 3

1) Vì $BN,CM$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên:

ˆBMC=ˆBNC(=900)BMC^=BNC^(=900)

Hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên theo dấu hiệu nhận biết tgnt thì tứ giác $BMNC$ nội tiếp, hay $B,M,N,C$ cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi $K$ là giao điểm $AH$ và $BC$

Gọi $T$ là trung điểm của $AH$

Ta thấy $NT$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AH$ của tam giác $ANH$ nên $NT=\frac{AH}{2}=r$, do đó $N$ cũng thuộc đường tròn đường kính $AH$

$NT=\frac{AH}{2}$