a) Ta có : \(\widehat{ANC}=\widehat{ACM}=\frac{1}{2}\) sđ cung MC ; Góc CAN là góc chung của hai tam giác CAM và tam giác NAC

\(\Rightarrow\Delta CAM~\Delta NAC\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\frac{CM}{CN}=\frac{AC}{AN}\) (1)

Tương tự với tam giác BAM và tam giác NAB ta cũng có \(\widehat{MBA}=\widehat{ANB}=\frac{1}{2}\)sđ cung BM ; Góc NAB là góc chung của hai tam giác

\(\Rightarrow\Delta BAM~\Delta NAB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AN}=\frac{BM}{BN}\) (2)

Mà AB = AC (vì AB và AB là hai tiếp tuyến của (O))

Do đó, kết hợp (1) và (2) ta có \(\frac{CM}{CN}=\frac{BM}{BN}\Rightarrow BM.CN=BN.CM\)

a) Xét ΔOMN có OM=ON(=R)

nên ΔOMN cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔOMN cân tại O(cmt)

mà OE là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy MN(E là trung điểm của MN)

nên OE là đường cao ứng với cạnh MN(Định lí tam giác cân)

hay OE⊥MN tại E

Xét tứ giác AEOC có 

\(\widehat{OEA}\) và \(\widehat{OCA}\) là hai góc đối

\(\widehat{OEA}+\widehat{OCA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay A,O,E,C cùng nằm trên 1 đường tròn(đpcm)

a: Xét ΔABM và ΔANB có

\(\widehat{BAN}\) chung

\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)

Do đó: ΔABM\(\sim\)ΔANB

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)

hay \(AB^2=AM\cdot AN\)

a: góc ABO+góc ACO=90+90=180 độ

=>ABOC nội tiếp

b: Xét ΔABM và ΔANB có

góc ABM=góc ANB

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔANB

=>AB/AN=AM/AB

=>AB^2=AN*AM

a: Xét ΔAMB và ΔACM có 

\(\widehat{AMB}=\widehat{ACM}\)

\(\widehat{MAB}\) chung

Do đó: ΔAMB∼ΔACM

Suy ra: AM/AC=AB/AM

hay \(AM^2=AB\cdot AC\)

b: Xét tứ giác AMON có 

\(\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^0\)

Do đó: AMON là tứ giác nội tiếp(1)

Xét tứ giác AHON có 

\(\widehat{AHO}+\widehat{ANO}=180^0\)

Do đó:AHON là tứ giác nội tiếp(2)

Từ (1) và (2) suy ra A,M,O,N,H cùng thuộc một đường tròn

hay AMHN là tứ giác nội tiếp

a:góc OBA+góc OCA=180 độ

=>ABOC nội tiếp

b: Xét ΔABM và ΔANB có

góc ABM=goc ANB

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng vơi ΔANB

=>AB/AN=AM/AB

=>AB^2=AN*AM

c: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

=>AB=AC
mà OB=OC

nên OA là trung trực củaBC

=>OA vuông góc CB

=>AH*AO=AB^2=AM*AN

=>AM/AO=AH/AN

=>ΔAMH đồng dạng với ΔAON

1: Xét ΔOBC có 

OH là đường cao

OH là đường trung tuyến

Do đó: ΔOCB cân tại O

hay C thuộc đường tròn(O)

Xét ΔOBA và ΔOCA có 

OB=OC

AB=AC

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

Suy ra: \(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}=90^0\)

hay AC là tiếp tuyến của (O)

2: Xét ΔABM và ΔANB có 

\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔABM\(\sim\)ΔANB

Suy ra: AB/AN=AM/AB

hay \(AB^2=AM\cdot AN\left(1\right)\)

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AN=AH\cdot AO\)