a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow5=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=0.6\Rightarrow\widehat{B}\approx53^o\)

\(\Rightarrow\sin B=\sin53^o\approx0.8=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AH}{6}\Rightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)

b) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H: \(BH=AB.\cos B\)

Tương tự: \(HC=AC.\cos C\)

Cộng hai vế của hai đẳng thức trên, ta được điều phải chứng minh

c) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác cho \(\Delta ABH\) có HE là đường cao: \(HA^2=AE.AB\)

Tương tự: \(HA^2=AN.AC\)

Nên AE.AB = AN.AC

b: Xét ΔAHC vuông tại H có 

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

hay \(AH^2=AC^2-HC^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC^2-HC^2=AN\cdot AC\)

b: \(AN\cdot AC=AH^2\)

\(AC^2-HC^2=AH^2\)

Do đó: \(AN\cdot AC=AC^2-HC^2\)

a) áp dụng định lý Pytago ta có:

    BC² = AB² + AC² 

\(\Rightarrow\)BC² = 6² + 8² = 100

\(\Rightarrow\)BC = \(\sqrt{100}\)= 10

\(\Delta\)ABC vuông tại A có AM là trung tuyến 

\(\Rightarrow\)AM = \(\frac{BC}{2}\)= \(\frac{10}{2}\)= 5cm

b) AKMN là hình chữ nhật vì \(\widehat{AKM}\)= \(\widehat{KAN}\)= \(\widehat{ANM}\)= 90⁰

c) KM \(\perp\)AB;    AB \(\perp\)AC

\(\Rightarrow\)KM // AC

\(\Delta ABC\)có KM // AC; MB = MC

\(\Rightarrow\)KA = KB

\(\Rightarrow\)KM là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)KM = \(\frac{AC}{2}\)

CM tương tự ta có:  NC =\(\frac{AC}{2}\)

suy ra KM = NC

mà KM // NC

nên KMNC là hình bình hành

a) Vì AH \(\perp\) BC (gt)

=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o\) (ĐN 2 đường thẳng \(\perp\))

Ta có: \(\widehat{C}+\widehat{A_1}=90^o\) (\(\Delta\)AHC vuông tại H do \(\widehat{AHC}=90^o\))

mà \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^o\) (\(\widehat{BAC}=90^o\) do \(\Delta\)ABC vuông tại A)

=> \(\widehat{C}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)CHA có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) (cmt)

\(\widehat{C}=\widehat{A_2}\) (cmt)

=> \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)CHA (g.g)

b) Xét \(\Delta\)ABH và \(\Delta\)CBA có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{AHB}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{B}\): chung

=> \(\Delta\)ABH ~ \(\Delta\)CBA(g.g)

=> \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{AH}{CA}\) (ĐN 2 \(\Delta\) ~)

=> \(AB\cdot CA=AH\cdot CB\) (t/c TLT)

c) Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A (gt) có:

\(AB^2+AC^2=BC^2\) (ĐL Pi-ta-go)

=> \(BC^2=9^2+12^2=225\)

=> BC = 15cm

Ta có: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{AH}{CA}\) (cmt)

=> \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{9\cdot12}{15}=7,2cm\)

Xét \(\Delta\)AHB vuông tại H (cmt) có:

\(AH^2+HB^2=AB^2\) (ĐL Pi-ta-go)

=> \(BH^2=AB^2-AH^2=9^2-7,2^2=29,16\)

=> BH = 5,4cm

Lại có: \(HC=BC-BH=15-5,4=9,6\)cm